Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

О КАТЕГОРИИ МНОЖЕСТВ

 

Выполнила студентка V курса

математического факультета

Одегова В.Н.

/подпись/

Научный руководитель:

Доктор ф.-м.н., профессор

Вечтомов Е.М.

/подпись/


Рецензент: кандитат ф.-м.н., доцент Чермных В.В.

/подпись/

Допущен к защите в ГАК

Зав. кафедрой Вечтомов Е.М.

(подпись)

2003г.

Декан факультета Варанкина В.И.

(подпись)

2003г.

Киров, 2003г.

введение.. 3

1 Основные понятия теории категорий.. 4

1.1. Мономорфные стрелки. 6

1.2. Эпиморфные стрелки. 7

1.3. Изострелки. 8

1.5. Начальные объекты.. 10

1.6. Конечные объекты.. 10

1.7. Двойственность. 11

1.8. Произведения. 12

1.9. Произведение отображений. 15

1.10. Копроизведение объектов. 18

2 категориЯ множеств.. 19

2.1. Мономорфизм в категории множеств. 20

2.2. Эпиморфизм в категории множеств. 21

2.3. Начальные и конечные объекты в категории множеств. 23

2.4. Произведение в категории множеств. 23

2.5. Копроизведения в категории множеств. 24

3 Примеры категорий.. 24

3.1. Категория 1. 24

3.2. Категория 2. 25

3.3. Категория 3. 25

3.4. Категории предпорядка. 26

3.5. Дискретные категории. 26

3.6. Категория N.. 27

Литература.. 28


введение Сейчас многие отрасли математики используют теоретико-множественные обозначения. Несомненно, теория множеств сыграла огромную роль в развитии математики. У этой теории можно найти много преимуществ, но в этой дипломной работе речь пойдет не об этом. Развитием теории множеств можно считать теорию категорий. Что такое «теория категорий». Это очень привлекательная и естественная альтернатива теории множеств. Конечно, можно мыслить объекты математического изучения как множества, но нет уже уверенности, что и в будущем их будут рассматривать так. Без сомнения, основной язык теории множеств останется важным инструментом в тех случаях, когда надо рассматривать совокупности предметов. Но понимание самих предметов как множеств потеряло свое преимущественное значение в силу появления новой альтернативы. В данной дипломной работе рассматривается одна из важнейших категорий в математике – категория множеств. В первом параграфе рассматриваются основные понятия теории категорий. Доказываются необходимые свойства и утверждения. Во втором параграфе рассматривается категория множеств. Те понятия, которые используются в теории категорий, переносятся непосредственно в эту категорию. Интерпретируются теоремы из теории категорий в категорию множеств. В третьем параграфе приведены другие примеры категорий. Тем самым показаны выразительные возможности теории категорий. Теория категорий изложена в книгах [1]-[4].
1 Основные понятия теории категорий

Для того чтобы проиллюстрировать формализацию интуитивной математической идеи рассмотрим понятие функции.

Функция – есть связь между объектами. Точнее, это – соответствие, сопоставляющее заданному объекту точно один другой объект.

Если А – множество всех возможных входов функции f, а В – множество, включающее все f-образы элементов из А, то говорят, что f является функцией из множества А во множество В. Это выражают записью f: A®B.

Множество А называется областью определения, а множество В – областью значений.

В общей теории категорий вместо слова «функция» используют более нейтральное слово «стрелка» (а также слово «морфизм»).

 Выполняются следующие свойства:

1.  C каждой стрелкой связано два специальных объекта – её начало и конец.

2.  Имеется операция композиции, которая применяется к определенным парам ‹ g, ¦› стрелок данной категории (когда область значения первой совпадает с областью определения второй) и дает в результате новую стрелку g˚¦, также принадлежащую данной категории.


Информация о работе «О категории множеств»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 30578
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 24

Похожие работы

Скачать
17527
0
0

... Привлекательность продукции определяется степенью удовлетворения совокупности разноплановых, иногда противоречивых требований; 3. Состав предъявляемых требований, их приоритетность зависит как от вида продукции, так и типа ее потребителя; 4. Конкурентоспособность как экономическая категория имеет релятивистскую природу, так как рассматривается относительно конкретного рынка и конкретного аналога; ...

Скачать
23124
0
0

... , почему именно эти аксиомы оказались настолько успешными и достойными специального внимания. Соответственно самая большая слабость формализма состоит в невозможности объяснить, почему аксиомы теории множеств, предположительно не отражающие никакой реальности, способны доказывать арифметические утверждения, не доказуемые с помощью более финитистских средств. Слабость, которую, как я полагаю, ...

Скачать
30122
0
0

... науки. В основе этой взаимозависимости лежит взаимосвязь всеобщего, являющегося предметом философских наук, и особенного, служащего предметом частных наук. Понимание взаимосвязи философии и частных наук основывается, таким образом, на диалектике категорий всеобщего и особенного (частного). С точки зрения научной диалектики всеобщее существует только через особенное, во всей массе особенных, а ...

Скачать
27084
0
0

... исторических понятий включена в динамическую картину исторического становления современного разума. Но для того, чтобы сопоставить основные исторические понятия и термины базового уровня, нам необходимо избрать и описать кадр такого сопоставления. Этот кадр — семантика социальных категорий. Имена и классы Прежде, чем изложить некоторые элементы семантической теории социальных категорий, следует ...

0 комментариев


Наверх