Криволинейный интеграл первого и второго рода

2973
знака
0
таблиц
8
изображений

Криволинейный интеграл первого рода

 

Криволинейный интеграл второго рода

 

1.  Задача приводящая к понятию криволинейного интеграла.

Определение криволинейного интеграла по координатам.

2.  Свойства криволинейного интеграла (рис. 1).

3.  Вычисления

а)

б)

Рис. 1

Займемся обобщением понятия определенного интеграла на случай  когда путь интегрирования – кривая -кривая , , . Т/н. А-работу силы  при перемещении точки  от  к

1. Разобьем на n частей :

Обозначим  вектор- хорда дуге.

Пусть  предположим, что на  тогда

Работа  вдоль дуги  вычисляется как скалярное произведение векторов  и

Пусть

Тогда:

Работа

Если , то этот предел примем за работу А силы  при движении точки  по кривой  от точки  до точки

,-не числа, а точки концы линии .


1.  Свойства:

10 определяется

а) подынтегральным выражением

б) формой кривой интегрирования.

в) указанием направления интегрирования (рис. 2).

  

Рис. 2

-можно рассматривать как интеграл от векторной функции

Тогда  - если -замкнутая то -называют циркуляцией вектора  по контуру .


30

40 не зависит от того какую точку  взять за начало

 

Вычисление криволинейного интеграла

Криволинейные интегралы вычисляются сведением их к обыкновенным интегралам по отрезку прямой (рис. 3).

Рис. 3

-гладкая кривая.

1.  Если -непрерывны, -непрерывные.

-непрерывны по , то

Пределы А и В не зависят ни от способа деления  на , ни от вектора


Следовательно: .

2. В случае:  

 

1.  Формула Грина.

2.  Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

3.  Полный дифференциал.

Связь между определенным и криволинейным интегралами.

Пусть дано область D, замкнутая, ограниченная линией  (рис. 4).

интеграл криволинейный грин формула

 

Рис. 4

 непрерывны на

 - определена и непрерывна в замкнутой области D.

 - определена и непрерывна в замкнутой области D. Тогда


Аналогично

 -Формула Грина.

В частности: вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла.

 

 

 

Пример.

 


Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

 

 

Рис. 5

- непрерывные частные производные в  (рис. 5).

Каковы условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования?

 

Теорема: -непрерывны в области , тогда для того, чтобы


 в  (рис. 6)

Рис. 6

 

Пусть

 

Обратно  

Т.д.

Пусть  из непрерывности  и

-окрестность точки  такая что  в

 предположение неверно. ч.т.д.

Замечание.


 

 

Определение. Функция -градиент которой есть вектор силы  называется потенциалом вектора .

Тогда

Вывод: Криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит от формы пути интегрирования.


Литература

1.  Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. 1-2 том. Изд. МГУ, 1989 г.

2.  Виноградова И.А., Олексич С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Часть 1,2 Изд. МГУ. Серия классический университетский учебник 250 летию МГУ 2005 г.

3.  Шилов Г.Е. Математический анализ. Часть 1,2. Москва. Изд. Лань. 2002 г. – 880 с.

4.  Лунгу К.Н. Сборник задач по математике. Часть 1,2. Москва. Айрис пресс 2005 г.


Информация о работе «Криволинейный интеграл первого и второго рода»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 2973
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 8

Похожие работы

Скачать
15080
0
15

... выражением,  – переменной интегрирования; отрезок  называется промежутком интегрирования. Теорема 1. Если функция  непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке. 2.  Геометрический смысл определенного интеграла Пусть на отрезке  задана непрерывная неотрицательная функция . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью ...

Скачать
22351
0
8

... дробей m и n; 2)    если  Z, то используется подстановка: a+bxn=ts, где s – знаменатель дроби 3)    если  Z, то применяется подстановка: ax-n+b=ts, где s – знаменатель дроби 9.    Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл. Определение. Если существует конечный передел интегральной суммы (8)  - (8) при λ→0, не зависящий от способа разбиения &# ...

Скачать
15035
0
26

... так: , (10) где F1 и F2 – функции, полученные при подстановке в функцию f вместо x, y, z их выражений через цилиндрические (8) или сферические (9) координаты. 1.4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов 1) Площадь плоской области S: (11) Пример 1. Найти площадь фигуры D, ограниченной линиями у = 2, у = 5. Решение. Эту площадь удобно вычислять, считая у ...

Скачать
20222
1
2

... переменных Z и z при произвольном изменении области G и переменных на кривой С. Очевидно, что при сделанных предположениях : Интеграл существует и является функцией комплексной переменной. Справедлива формула : (2) Эта формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного интеграла путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру. ТЕОРЕМА. Пусть f(Z) ...

0 комментариев


Наверх