Зміст

Введення

Рішення рівнянь із параметрами

Рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями

Висновок

Література


Введення

Актуальність даної теми визначається необхідністю вміти вирішувати такі рівняння з параметрами при складанні незалежного оцінювання знань.

Ціль даної роботи розповісти про рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні задачі:

дати визначення поняттям рівняння з параметрами;

показати принцип рішення даних рівнянь на загальних випадках;

показати рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями.

Для виконання поставленої мети були використані наступні методи: використання літератури різного типу, робота в групах на уроках алгебри й заняттях елективного курсу по математиці, участь проектної групи в міській конференції по даній темі в 2008 році.

Об'єктом дослідницької роботи було рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями вище представлених функцій.

Структура даної роботи містить у собі теорію, практичну частину, висновок, бібліографічний список.


Рішення рівнянь із параметрами

рівняння параметр функція логарифмічна

Задачі з параметрами відіграють важливу роль у формуванні логічного мислення й математичної культури в школярів, але їхнє рішення викликає в них значні утруднення. Це пов'язане з тим, що кожне рівняння з параметрами являє собою цілий клас звичайних рівнянь, для кожного з яких повинне бути отримане рішення. Такі задачі пропонуються на єдиному державному іспиті й на вступних іспитах у вузи.

Більшість посібників адресована абітурієнтам, однак починати знайомитися з подібними задачами потрібно набагато раніше - паралельно з відповідними розділами шкільної програми по математиці.

Якщо в рівнянні деякі коефіцієнти задані не конкретними числовими значеннями, а позначені буквами, то вони називаються параметрами, а рівняння параметричним.

Природно, такий невеликий клас задач багатьом не дозволяє засвоїти головне: параметр, будучи фіксованим, але невідомим числом, має як би двоїсту природу. По-перше, передбачувана популярність дозволяє «спілкуватися» з параметром як із числом, а по-друге, - ступінь волі спілкування обмежується його невідомістю. Так, ділення на вираження, що містить параметр, добування кореня парного ступеня з подібних виражень вимагають попередніх досліджень. Як правило, результати цих досліджень впливають і на рішення, і на відповідь.

Основне, що потрібно засвоїти при першому знайомстві з параметром, - це необхідність обережного, навіть, якщо хочете, делікатного обігу з фіксованим, але невідомим числом. Цьому, на нашу думку, багато в чому будуть сприяти наші приклади.

Необхідність акуратного обігу з параметром добре видна на тих прикладах, де заміна параметра числом робить задачу банальної. До таких задач, наприклад, ставляться: зрівняти два числа, вирішити лінійне або квадратне рівняння, нерівність і т.д.

Звичайно в рівняння буквами позначають невідомі.

Вирішити рівняння - значить:

знайти множину значень невідомому, задовольняючому цьому рівнянню. Іноді рівняння, крім букв, що позначають невідоме (X, Y,Z), містять інші букви, називані параметрами(a, b, c). Тоді ми маємо справу не з одним, а з нескінченною множиною рівнянь.

При одних значеннях параметрів рівняння не має корінь, при інших - має тільки один корінь, при третіх - два корені.

При рішенні таких рівнянь треба:

1) знайти множину всіх доступних значень параметрів;

2) перенести всі члени, що містять невідоме, у ліву частину рівняння, а всі члени, що не містять невідомого в праву;

3) привести подібні доданки;

4) вирішувати рівняння ax = b.

Можливо три випадки.

1. а 0, b – будь-яке дійсне число. Рівняння має єдине рішення х = .

2. а = 0, b = 0. Рівняння приймає вид: 0х = 0, рішеннями є всі х R.

3. а = 0, b 0. Рівняння 0х = b

рішень не має.

Зробимо одне зауваження. Істотним етапом рішення рівнянь із параметрами є запис відповіді. Особливо це ставиться до тих прикладам, де рішення як би «гілкується» залежно від значень параметра. У подібних випадках складання відповіді - це збір раніше отриманих результатів. І тут дуже важливо не забути відбити у відповіді всі етапи рішення.

У тільки що розібраному прикладі запис відповіді практично повторює рішення. Проте, я вважаю за доцільне привести відповідь.

Відповідь:

х =  при а  0, b – будь-яке дійсне число;

х - будь-яке число при а = 0, b = 0;

рішень немає при а = 0, b ? 0.


Рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, тригонометричною й логарифмічною функціями

1. Знайдемо значення параметра n, при яких рівняння 15·10 х – 20 = n – n · 10х + 1 не має коренів?

Рішення: перетворимо задане рівняння: 15·10 х – 20 = n – n · 10х + 1; 15·10 х + n· 10х + 1 = n + 20; 10 х ·(15 + 10n) = n + 20; 10 х = .

Рівняння не буде мати рішень при  ≤ 0, оскільки 10 х завжди позитивно.

Вирішуючи зазначену нерівність методом інтервалів, маємо:  ≤ 0; (n + 20)·(15 + 10n) ≤ 0; - 20 ≤ n ≤ - 1,5.

Відповідь: .

2. Знайдемо всі значення параметра а, при яких рівняння lg2 (1 + х2) + (3а – 2)· lg(1 + х2) + а2 = 0 не має рішень.

Рішення: позначимо lg(1 + х2) = z, z > 0, тоді вихідне рівняння прийме вид: z2 + (3а – 2) · z + а2 = 0 Це рівняння – квадратне з дискримінантом, рівним (3а – 2)2 – 4а2 = 5а2 – 12а + 4. При дискримінанті менше 0, тобто при 5а2 – 12а + 4 < 0 виконується при 0,4 < а <2.

Відповідь: (0,4; 2).


Информация о работе «Рішення рівнянь із параметрами»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 11081
Количество таблиц: 1
Количество изображений: 1

Похожие работы

Скачать
50762
1
32

... ї інформації уздовж від параметра (див. мал. (??)):   Очевидно, що максимальна кількість рішень дорівнює трьом, і це досягається, коли  або . Відповідь. . Графічне рішення рівнянь і нерівностей з модулем Рішення рівнянь, що містять знак абсолютної величини часто набагато зручніше вирішувати не аналітично, а графічно (особливо рівняння утримуючі параметри). Побудова графіків виду ,  і ...

Скачать
33558
0
12

... , тоді  й . Отже,  для таких х, і, виходить, на цьому проміжку нерівність (11) також не має рішень. Отже, нерівність (11) рішень не має. Відповідь: O. 3 ДЕЯКІ ШТУЧНІ СПОСОБИ РІШЕННЯ РІВНЯНЬ Існують і інші нестандартні методи рішення рівнянь і нерівностей, крім використання властивостей функції. Дана глава присвячена додатковим методам рішення. 3.1 Множення рівняння на функцію І ...

Скачать
34990
1
9

... , рівняння прийме вид: Очевидно, що , для всіх  і Отже, останнє рівняння рівносильне системі: Тим самим, ми довели, що при , рівняння має єдине рішення. Відповідь. . тригонометричний рівняння комбінований графічний Рішення з дослідженням функції Приклад [??] Доведіть, що всі рішення рівняння і- цілі числа. Рішення. Основний період вихідного рівняння дорівнює . Тому ...

Скачать
20161
0
0

... ставляться також рівність (1.6) Формули (2.12) і (2.15) доводяться підстановкою в них ряду (1.1) або виводяться на основі вже відомих рекурентних співвідношень для суміжних функцій. 1.3 Гіпергеометричне рівняння Помітимо, що гіпергеометрична функція u= F( , , ,z) є інтегралом лінійного диференціального рівняння z(1-z) +[ -( + +1)] - u=0 (2.16) регулярним в околиці ...

0 комментариев


Наверх