Методы решения биматричных игр

7400
знаков
0
таблиц
0
изображений

 

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ БИМАТРИЧНЫХ ИГР

 


1.  Основные определения теории биматричных игр

Рассмотрим конфликтную ситуацию, в которой каждый из двух участников имеет следующие возможности для выбора своей линии поведения:

игрок А – может выбрать любую из стратегий А1, ... , Ат,

игрок В – любую из стратегий В1, …, Вn

При этом всякий раз их совместный выбор оценивается вполне определенно:

если игрок А выбрал i-ю стратегию , а игрок В – k-ю стратегию , то в итоге выигрыш игрока А будет равен некоторому числу , а выигрыш игрока В некоторому, вообще говоря, другому числу .

Иными словами, всякий раз каждый из игроков получает свой приз.

Последовательно перебирая все стратегии игрока А и все стратегии игрока В, мы сможем заполнить их выигрышами две таблицы (первая из них описывает выигрыши игрока А, а вторая – выигрыши игрока В).

Обычно эти таблицы записывают в виде матриц


Здесь А – платежная матрица игрока А, а В – платежная матрица игрока В.

При выборе игроком А i-й стратегии, а игроком В – k-й стратегии их выигрыши находятся в матрицах выплат на пересечении i-х строк и k-x столбцов: в матрице А это элемент , а в матрице В – элемент .

Таким образом, в случае, когда интересы игроков различны (но не обязательно противоположны), получаются две платежные матрицы: одна – матрица выплат игроку А, другая – матрица выплат игроку В. Поэтому совершенно естественно звучит название, которое обычно присваивается подобной игре – биматричная.

Замечание. Рассматриваемые матричные игры, можно рассматривать и как биматричные, где матрица выплат игроку В противоположна матрице выплат А:

В общем случае биматричная игра – это игра с ненулевой суммой.

Класс биматр. игр значительно шире класса матричных (разнообразие новых моделируемых конфликтных ситуаций весьма заметно), а, значит, неизбежно увеличиваются и трудности, встающие на пути их успешного разрешения.

Пример. «Студент — Преподаватель».

Рассмотрим следующую ситуацию. Студент (игрок А ) готовится к зачету, который принимает Преподаватель (игрок В). Можно считать, что у Студента две стратегии – подготовиться к сдаче зачета (+) и не подготовиться (-). У Преподавателя также две стратегии – поставить зачет [+] и не поставить зачета [-].

В основу значений функций выигрыша игроков положим следующие соображения:

 

Количественно это можно выразить, например, так

2. Смешанные стратегии в биматричных играх

В приведенных примерах описаны ситуации, в которых интересы игроков не совпадают. Встает вопрос о том, какие рекомендации необходимо дать игрокам для того, чтобы моделируемая конфликтная ситуация разрешилась. Иными словами, что мы будем понимать под решением биматричной игры?

Попробуем ответить на это вопрос так:

вследствие того, что интересы игроков не совпадают, нам нужно построить такое (компромиссное) решение, которое бы в том или ином, но в одинаковом смысле удовлетворяло обоих игроков.

Не пытаясь сразу выражать эту мысль совсем точно, скажем – попробуем найти некую равновесную ситуацию, явное отклонение от которой одного из игроков уменьшало бы его выигрыш.

Подобный вопрос мы ставили и при рассмотрении матричных игр. Напомним, что возникающее при разработке минимаксного подхода понятие равновесной ситуации приводило нас к поиску седловой точки, которая, существует не всегда – конечно, если ограничиваться только чистыми стратегиями игроков А и В, т.е. стратегиями .

Однако при расширении матричной игры путем перехода к смешанным стратегиям, т. е. к такому поведению игроков, при котором они чередуют (чистые) стратегии с определенными частотами:

игрок А – стратегии A1,..., Ат с частотами р1,..., рт, где

 

а игрок В – стратегии В1,...., Вn, с частотами q1,..., qn, где

выяснилось, что в смешанных стратегиях равновесная ситуация всегда существует. Иными словами, любая матричная игра в смешанных стратегиях разрешима.

Поэтому, рассматривая здесь биматричные игры, разумно попробовать сразу же перейти к смешанным стратегиям игроков (этим мы предполагаем, что каждая игра может быть многократно повторена в неизменных обстоятельствах).

В матричном случае смешивание стратегий приводило к расширению возможности выплат в том смысле, что расчет строился из вычисления средних выигрышей игроков А и В, которые определялись по элементам платежной матрицы А и вероятностям и :

,

При смешанных стратегиях в биматричных играх также возникают средние выигрыши игроков А и В, определяемые по правилам, в которых уже нет никакой дискриминации игрока В:

,

 

3. 2x2 биматричные игры. Ситуация равновесия

Мы предполагаем уделить основное внимание случаю, когда у каждого из игроков имеется ровно две стратегии, т. е. случаю т = п = 2. Поэтому нам кажется уместным выписать приведенные выше формулы именно для такого случая.

В 2 ´ 2 биматричной игре платежные матрицы игроков имеют следующий вид

, ,

вероятности

биматричная игра решение

а средние выигрыши вычисляются по формулам

где

,

Сформулируем основное определение.

Определение. Будем считать, что пара чисел

, ,

определяет равновесную ситуацию, если для любых р и q, подчиненных условиям одновременно выполнены следующие неравенства

 (1)

 

Пояснение. Выписанные неравенства (1) означают следующее: ситуация, определяемая смешанной стратегией (р*, q*), является равновесной, если отклонение от нее одного из игроков при условии, что другой сохраняет свой выбор, приводит к тому, что выигрыш отклонившегося игрока может только уменьшиться. Тем самым, получается, что если равновесная ситуация существует, то отклонение от нее невыгодно самому игроку.

Теорема 1 (Дж. Нэш). Всякая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию (точку равновесия) в смешанных стратегиях.

Итак, равновесная ситуация существует. Но как ее найти?

Если некоторая пара чисел (р*, q*) претендует на то, чтобы определять ситуацию равновесия, то для того, чтобы убедиться в обоснованности этих претензий, или, наоборот, доказать их необоснованность, необходимо проверить справедливость неравенств (1) для любого р в пределах от 0 до 1 и для любого q в пределах от 0 до 1. В общем случае число таких проверок бесконечно. И, следовательно, действенный способ определения равновесной ситуации нужно искать где-то в ином месте.

Теорема 2. Выполнение неравенств

 

 (1)

равносильно выполнению неравенств

 

 (2)

Иными словами, для того, чтобы убедиться в обоснованности претензий пары (р*, q*) на то, чтобы определять равновесную ситуацию, нужно проверить справедливость неравенства

только для двух чистых стратегий игрока А (р = 0 и р = 1) и неравенства

только для двух чистых стратегий игрока В (q = 0 и q= 1).

Четыре неравенства (2) позволяют провести поиск точки равновесия вполне конструктивно.

Запишем средние выигрыши игроков А и В в более удобной форме.

Имеем

Обратимся к первой из полученных формул.

Полагая в ней сначала р = 1, а потом р = 0, получаем,

Рассмотрим разности

Полагая

 

получим для них следующие выражения

В случае, если пара (р, q) определяет точку равновесия, эти разности неотрицательны


 

Поэтому окончательно получаем

Из формул для функции нв ( р, q) при q = 1 и q = 0 соответственно имеем

Разности

 и

с учетом обозначений

 .

приводятся к виду

совершенно так же, как соответствующие разности для функции НА.

Если пара (р, q) определяет точку равновесия, то эти разности неотрицательны

 

Поэтому


Вывод

Для того, чтобы в биматричной игре

, ,

пара (р, q) определяла равновесную ситуацию, необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих неравенств

, ,

, ,

где

 

 .


Информация о работе «Методы решения биматричных игр»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 7400
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 0

Похожие работы

Скачать
6077
0
0

... возможных вариантов – желание игрока навредить своему сопернику в ущерб собственному выигрышу, или цель будет противоположна. Обычно рассматриваются два подхода к решению биматричной игры. Первый – поиск равновесных ситуаций: ищутся условия, когда игра находится в некотором равновесии, которое невыгодно нарушать ни одному из игроков в отдельности. Второй – поиск ситуаций, оптимальных по Парето: ...

Скачать
93693
17
1

... , чем обычно. Общий заработок в 1000 $ они должны поделить следующим образом: певцу 350 $, пианисту 435 $, ударнику 175 $. Глава . Принятие решений в условиях частичной неопределенности. Элементы теории статистических решений. Предметом рассмотрения данного раздела служат статистические модели приянятия решений, трактуемые как статистические игры или игры с природой при использовании ...

Скачать
30511
5
2

... общую цель. Однако разные члены коллектива могут быть по-разному информированы об обстановке проведения игры. Выигрыш или проигрыш сторон оценивается численно, другие случаи в теории игр не рассматриваются, хотя не всякий выигрыш в действительности можно оценить количественно. Игрок - одна из сторон в игровой ситуации. Стратегия игрока - его правила действия в каждой из возможных ситуаций игры. ...

Скачать
24554
3
7

... смешанными стратегиями игроков 1 и 2 называются такие наборы хо, уо соответственно, которые удовлетворяют равенству  Е (А, х, y) = Е (А, х, y) = Е (А, хо, уо). Величина Е (А, хо ,уо) называется при этом ценой игры и обозначается через u. Имеется и другое определение оптимальных смешанных стратегий: хо, уо называются оптимальными смешанными стратегиями соответственно игроков 1 и 2, если они ...

0 комментариев


Наверх