Численные методы

ЛЕКЦИЯ №1

 

Численные методы представляют собой набор алгоритмов, позволяющих получать приближенное (численное) решение математических задач.

Погрешности, возникающие при решении задач, бывают двух видов:

 1)абсолютная

 p - p  , где p - точное значение, p - не точное.

 2)относительная

 

Эмпирические данные:

Погрешности Случайные Ошибки

измерительного помехи набора

прибора

1)  Нахождение нулей функции;

2)  Системы линейных и нелинейных уравнений;

3)  Приближение функции. Интерполяция. Экстраполяция.

4)  Решение дифференциальных уравнений.

5)  Расчет собственных значений и собственных векторов матриц.

НАХОЖДЕНИЕ НУЛЕЙ ФУНКЦИИ

 

Общая постановка задачи

Дана некоторая функция f(х). Необходимо найти хотя бы одно значение х, при котором f(х)=0.

Этапы:

1)  Отделение корней.

Область определения функции разбивается на отрезки, на каждом из которых

содержится единственный корень функции.

2)  Уточнение корня при помощи одного из численных методов на каждом из выбранных отрезков.

Нуль функции – точка пересечения графика функции с осью Ох.

Непрерывность f(х) в точке х₀:

Производная функции: f' =

Физический смысл: f'(х₀)- скорость

Геометрический смысл: f'(х₀)-тангенс угла наклонной касательной к графику функции, проведенной в данной точке.

Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна. Обратное не верно.

Предел функции в точке:

 x: | x-x₀| < 

ε >0 (ε)

| f(x) – A| < ε

Градиент функции – это вектор.

Геометрический смысл : показывает направление локального возрастания функции в данной точке .

1)  Наблюдаем смену знака функции.

2)  Исследуем функцию на монотонность.

Теорема №1: если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и в концах отрезка принимает значения разных знаков, то на этом отрезке функция имеет хотя бы один корень.

f(x)  C[a, b]

f(a) * f(b) < 0 → [a, b] f()=0

Теорема№2: если функция непрерывна и монотонна на отрезке и в концах отрезка принимает значения разных знаков, то на этом отрезке существует только единственный корень функции.

f(x) C[a, b], f ( ) и f(a) * f(b) < 0→[a, b] f() = 0

МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ

Дано: f(x) непрерывна на [a,b], на [a,b] существует динственный корень f(x)=0, ε

1) Делим отрезок пополам. Получаем точку

с= (b + a)/2.

Если f(a) * f(c) < 0,то b:=c.

Если f(b) * f(c) < 0,то а:=с

2) Продолжаем делить [a, b] на 2, пока|b-a| > ε, где ε- заданная точность.

ЛЕКЦИЯ №2

 

МЕТОД ХОРД

Дано: 1) f(x)  C''[a, b]

2) f(a) * f(b) < 0

3) f'(x) и f''(x) знакопостоянна на отрезке [a, b].

4) ε, чтобы получить f(x)=0

1) f(b) 2)

f'(x) >