Метод складних відсотків

2.2 Метод складних відсотків

 

У складних відсотках доход у кожному розрахунковому періоді додається до суми вкладу попереднього періоду, а доход у наступному періоді обчислюється вже на нарощену величину вкладу. Цей спосіб іноді називають нарахуванням "відсотка на відсоток".

Позначимо SUM_о первісний розмір внеску, вкладеного під складні відсотки на n років; SUM_n - кінцевий розмір внеску. Розрахуємо, на яку величину зросте SUM_о через n років при PS % річних і періоді нарахування доходу, рівному року.

По формулі обчислення простих відсотків (DOH = SUM х PS/100) наприкінці першого року одержимо:

Наприкінці другого року на отриману суму знову нараховуються прості відсотки:

Наприкінці третього року маємо:

Наприкінці n-го року маємо:

..............…………………….................(5)

Вираження r = 1 + PS/100 у світовій практиці називається складним декурсивним коефіцієнтом, а n-а ступінь складного декурсивного коефіцієнта називається коефіцієнтом нарощування.

Коефіцієнт нарощування для n періодів при РS % визначається по спеціальних фінансових таблицях. Фрагмент таблиці (1+PS/100)ⁿ представлений у таблиці 1.1. Шуканий коефіцієнт перебуває на перетинанні заданої процентної ставки, розташованої по горизонталі, і строку зберігання внеску, розташованого по вертикалі.

Таблиця 1.1

Коефіцієнти нарощування при складних відсотках

% n	1	3	5	6	8	10	12
1	1.01	1.03	1.05	1.06	1.08	1.10	1.12
2	1. 0201	1. 0609	1. 1025	1. 1236	1. 1664	1.21	1. 2544
3	1. 0303	1. 0927	1. 1576	1. 1910	1. 2597	1. 331	1. 4049
4	1. 0406	1. 1255	1. 2155	1. 2625	1. 3605	1. 4641	1. 5735
5	1. 0510	1. 1592	1. 2763	1. 3382	1. 4693	1. 6105	1. 7623
6	1. 0615	1. 1941	1. 3401	1. 4185	1. 5869	1. 7716	1. 9738
7	1. 0721	1. 2299	1. 4071	1. 5036	1. 7138	1. 9487	2. 2106
8	1. 0829	1. 2668	1. 4775	1. 5938	1. 8509	2. 1436	2. 4760
9	1. 0937	1. 3048	1. 5513	1. 6895	1. 9990	2. 3579	2. 7731
10	1. 1046	1. 3439	1. 6289	1. 7908	2. 1589	2. 5937	3. 1058
11	1. 1156	1. 3842	1. 7103	1. 8983	2. 3316	2. 8531	3. 4785
12	1. 1268	1. 4258	1. 7959	2. 0122	2. 5182	3. 1384	3. 8960
13	1. 1381	1. 4685	1. 8856	2. 1329	2. 7196	3. 4523	4. 3635
14	1. 1495	1. 5126	1. 9799	2. 2609	2. 9372	3. 7975	4. 8871
15	1. 1610	1. 5580	2. 0789	2. 3966	3. 1722	4. 1772	5. 4736
16	1. 1726	1. 6047	2. 1829	2. 5404	3. 4259	4. 5950	6. 1304
17	1. 1843	1. 6528	2. 2920	2. 6928	3. 7000	5. 0545	6. 8660
18	1. 1961	1. 7024	2. 4066	2. 8543	3. 9960	5. 5600	7. 6900
19	1. 2081	1. 7535	2. 5270	3. 0256	4. 3157	6. 1159	8. 6128
20	1. 2202	1. 8061	2. 6533	3. 2071	4. 6610	6. 7275	9. 6463

Приклад 6.

Визначити, який доход принесе вклад у розмірі 500 грн. за 5 років вкладений під складні 8 % річних.

DOH = SUM₅ - SUM_о; SUM₅ = 500 х 1,4693 = 735 (грн).

DOH = 735 - 500 = 235 (грн).

У світовій практиці річну процентну ставку називають ще номінальною. Відсотки можуть нараховуватися не тільки один, але й кілька разів у рік - по півріччях (доход нараховується 2 рази в рік), кварталам (доход нараховується 4 рази в рік), місяцям (доход нараховується 12 разів у році). Так, наприклад, номінальній процентній ставці 20 % відповідає піврічна 10 % (20/360 х 180), квартальна – 5 %, місячна - 1.67 %. Така ставка у світовій практиці має назву релятивної (відносної). Якщо номінальну процентну ставку зафіксуємо у величині PS, а число періодів нарахування відсотків протягом року - m, тоді щораз відсотки нараховуються по ставці PS_o = PS/m. У цьому випадку кінцевий результат SUM_mn за n років при m періодах розрахунку в році складе:

………………………………...........(6)

У загальному випадку відносну процентну ставку одержуємо по формулі:

 ....................................................................................(7)

Наприклад, річній процентній ставці 20 % буде відповідати наступна відносна процентна ставка за 85 днів:

PS_в = 20 х 85 /360 = 4,72 (%).

Розглянемо приклад, що показує, які проблеми з'являються при використанні відносної процентної ставки:

У банк вкладено 1000 грн. під складні 12 % річних. Знайти кінцеву суму внеску через 5 років, якщо розрахунковий період:

а) рік (360 днів, m = 1, PS = PS_в = 12);

б) півроку (180 днів, m = 2, PS_в = 6);

в) квартал (90 днів, m = 4, PS_в = 3);

а) SUM₅ = 1000 • (1 + 12/100)⁵ = 1000 • 1,762 = 1762 (грн);

б) SUM₁₀ = 1000 • (1 + 6/100)¹⁰ = 1000 • 1,790 = 1790 (грн);

в) SUM₂₀ = 1000 • (1 + 3/100)²⁰ = 1000 • 1,806 = 1806 (грн).

Для того, щоб одержати однаковий результат, використається так називана зрівнювальна процентна ставка.

Зрівнювальною процентною ставкою називається така ставка, при якій первісний вклад при m розрахунках у році й річному розрахунку зростає однаково.

Визначимо співвідношення між зрівнювальною ставкою і номінальною.

Виходячи з визначення зрівнювальної процентної ставки, можна записати:

де PS_в – зрівнювальна процентна ставка.

Тоді,

звідси:

Тепер можна визначити піврічну (m=2), квартальну (m=4), місячну (m=12) і денну (m=H) процентну ставку, якщо відомо номінальна (річна).

Піврічна зрівнювальна %-а ставка:

……………………………………………....(8)

Квартальна зрівнювальна %-а ставка:

…………………………………....................(9)

Місячна зрівнювальна %-а ставка:

……………………………...…………...(10)

Одноденна зрівнювальна %-а ставка

……………………………….................(11)

Приклади розрахунку зрівнювальної процентної ставки:

Приклад 7.

Знайти піврічну зрівнювальну процентну ставку, якщо номінальна процентна ставка становить 6 %.

Приклад 8.

Визначити квартальну відносну й зрівнювальну процентну ставку, якщо номінальна становить 54 %.