Расчет математического ожидания и дисперсии

1. Пароль для входа в компьютерную базу данных состоит из 7 цифр. Какова вероятность правильного набора пароля с первого раза, если: д) на нечетных местах комбинации стоят одинаковые цифры

Решение:

P(A) =

n – общее число исходов.

Допустим на нечетных местах стоит 0_0_0_0_0

На трех других местах может быть: n0= комбинаций ( 10 цифр, 3 места), если на нечетных местах стоит 1,  и т.д.

n= n0+n2+…+n0=10∙=

m= число благоприятных исходов

m=0

P(A) = =0,0001

Ответ: 0,0001

2. Девять карточек, пронумерованных цифрами от 1 до 9, расположены друг за другом в случайном порядке. Определить вероятности следующих событий: Г) каждая из последних 4 карточек имеет номер больше 3

Будем использовать классическое определение вероятности:

,

где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению события , а n – число всех элементарных равновозможных исходов.

Сразу вычислим, что  - число различных способов разложить карточки.

Найдем число исходов, благоприятствующих этому событию. Номер больше трех имеют карточки: 4,5,6,7,8,9, всего 6 карточек. Выбираем на последнее место карточку 6 способами (любую из этих шести), на предпоследнее место карточку 5 способами (любую из оставшихся пяти, одна уже выбрана), на третье с конца место карточку 4 способами, на четвертое с конца место карточку 3 способами. Получили всего  способов разложить последние 4 карточки так, чтобы их номер был больше 3. Теперь раскладываем оставшиеся 5 карточек 5!=120 способами. Итого получаем 120*360=43200 способов.

Тогда вероятность .

Ответ: 0,119

3. Отрезок AB разделен точкой C в отношении 3:7. На этот отрезок наудачу бросается 5 точек. Найти наивероятнейшее число точек, попавших на отрезок AC и вероятность именно такого числа точек на отрезке AC

Бросается 5 точек n=5

Вероятность попасть на АС для одной точки Р== 0,3

1)-наивероятнейшее число точек, попавших на АС

np –q ≤< np +p

p= 0,3; q=1-p=0,7

5∙ 0,3-0,7 ≤  < 5∙ 0,3+ 0,3

0,8 ≤  < 1,8

 =1

2) Вероятность именно такого числа точек на АС

 (1)=?

Применим формулу Бернулли.

 (K) =  . . ;

 (1)=  . . = ∙0,3 ∙= 5 ∙ 0,3∙ = 0,36

Ответ: 0,36

4. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2, 01 и 0,6. Найти вероятность того, что не отказал первый элемент, если известно, что отказали какие-то два элемента

Решение.  =0,2  =0,1 =0,6 - отказ.

= 1- =0,8 =0,4- не отказ.

Событие А- отказали какие-то два

- первый отказал Р()=0,2=

(А)=+ 0,2∙0,1∙0,4+ 0,2∙0,9∙0,6=0,116

-первый не отказал Р=0,8=

(А)= 0,048

По формуле полной вероятности

P(A)=0,2∙0,116+0,8∙0,048=0,0616

Искомую вероятность найдем по формуле Байеса:

()= =

Ответ: 0,62