Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
1. Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y=f(x), a≤x≤b, и имеет плотность 1) 
=(x), то статические моменты этой дуги Mx и My относительно координатных осей Ox и Oy равны
моменты инерции IХ и Iу относительно тех же осей Ох и Оу вычисляются по формулам
а координаты центра масс 
и 
— по формулам
где l— масса дуги, т. е.
Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох
и Оу дуги цепной линии y=chx при 0≤x≤1.
1) Всюду в задачах, где плотность не указана, предполагается, что кривая однородна и =1.
◄ Имеем: 
Следовательно,
►
Пример 2. Найти координаты центра масс дуги окружности x=acost, y=asint, расположенной в первой четверти.
◄ Имеем: 
Отсюда получаем:
►
В приложениях часто оказывается полезной следующая
Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.
Пример 3. Найти координаты центра масс полуокружности 
◄Вследствие симметрии 
. При вращении полуокружности вокруг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна 
, а длина полуокружности равна па. По теореме Гульдена имеем 
Отсюда 
, т.е. центр масс C имеет координаты C
.
2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах 4—7.
Пример 4. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой 
(м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.
◄ Так как путь, пройденный телом со скоростью 
(t) за отрезок времени [t1,t2], выражается интегралом
то имеем:
►
Пример 5. Какую работу необходимо затратить для того, чтобы тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту /i? Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность?
<4| Работа переменной силы / (#), действующей вдоль оси Ох на отрезке [а, Ь], выражается интегралом
Похожие работы
... формулы Ньютона — Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано. Символ ∫ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само слово ...
... движение. Глава 3. развитие понятия функции в школьном курсе физике. §3.1. Функция как важнейшее звено межпредметных связей. В общей системе теоретических знаний учащихся по физике и математике в средней школе большое место занимает понятие «функция». Оно имеет познавательное и мировоззренческое значение и играет важную роль в реализации межпредметных связей [13]. Функция является одним ...
... и доказал расходимость гармонического ряда. До сих пор в учебной литературе находит себе место парадокс И. Бернулли. Запишем таблицу 1/1*2 1/2*3 1/3*4 1/4*5... 1/2*3 1/3*4 1/4*5... 1/3*4 1/4*5... ……………………………. Просуммируем по строкам; найдем S1 = 1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + 1/4*5+...= 1 – ½ + ½ - 1/3 + 1/3 – ¼ + … = 1, S2 = ½ - 1/3 + 1/3 - ¼ +... = ...
... Из этой теоремы следует, что класс функций, представимых рядами Фурье, довольно широк. Поэтому ряды Фурье нашли широкое применение в различных отделах математики. Особенно успешно ряды Фурье применяются в математической физике и её приложениях к конкретным задачам механики и физики. Этот вопрос можно решить с помощью теоремы Дирихле. («Краткий курс высшей математики», Шнейдер и др., стр. 181) ...
0 комментариев