Операторы проектирования

Министерство Образования Российской Федерации

Вятский Государственный Гуманитарный Университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и МПМ

Выпускная квалификационная работа

Операторы проектирования.

 

 

Выполнил студент 5курса

математического факультета

Лежнин В.В.

 /подпись/

Научный руководитель:

Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Гукасов А.К.

 /подпись/

Рецензент:

Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Подгорная М.И.

 /подпись/

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой М.В. Крутихина

/подпись/ << >>

Декан факультета В.И. Варанкина

/подпись/ << >>

Киров

2003

 

Оглавление.

Введение. 2

Часть I. Основные понятия и предложения.  2

Часть II. Дополняемость в гильбертовых пространствах. 10

Часть III. Задача о дополняемости. 13

Литература. 15

Введение.

В данной работе рассматриваются операторы проектирования, которые являются частным случаев линейных операторов, их некоторые свойства, и рассматривается вопрос: как с помощью операторов проектирования можно выяснить дополняемо множество или нет. Так же освящается тема дополняемости в гильбертовых пространствах. Попутно для рассмотрения предлагаются некоторые определения и факты, на которые опираются нужные нам утверждения. К самостоятельно выполненным заданиям относятся доказательство замкнутости ядра (стр. 6, предложение 2), формула изменения коэффициентов Фурье при сдвиге на некоторое вещественное число и решение задачи о дополняемости.

Часть I. Основные понятия и предложения.

Определение. Метрику d на векторном пространстве X будем называть инвариантной, если d(x+z,y+z)=d(x,y), для любых x,y,z из X.

Определение. Пусть d – метрика на множестве X. Если каждая последовательность Коши сходится в X к некоторой точке, то d называется полной метрикой на X.

Определение. Векторное пространство X называется нормированным пространством, если каждому элементу x из X сопоставлено неотрицательное вещественное число, именуемое нормой x, и выполняются следующие условия:

1.   £ + "x, yÎX.

2.   =  "xÎX, "a - скаляра.

3.   > 0, если x¹0.

Примеры нормированных пространств.

1) l - нормированное пространство, в котором элементы – последовательности комплексных чисел x=(x, …,x, …), удовлетворяющие условию  <¥,

норма в таком пространстве определяется ;

2) L(0,1) - нормированное пространство, состоящее из функций с интегрируемым квадратом на интервале (0, 1), удовлетворяющее условию dx < ¥, и норма определена как  = .

3) С[0, 2p] – пространство непрерывных 2p периодических функций на отрезке [0, 2p]. Норма в нем определяется  =

Определение. Пусть X, Y – два топологических линейных пространства. Линейным оператором, действующим из X в Y, называется отображение y = Ax, где x принадлежит X, а y принадлежит Y, удовлетворяющее условию

A(ax+bx) = aAx+bAx.

Определение. Оператор A называется непрерывным в точке x области определения, если для любой окрестности V точки y= Ax существует такая окрестность U точки x, что Ax принадлежит V, как только x принадлежит пересечению области определения и U. Оператор A называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке области определения.

Определение. Линейный оператор, действующий из Е в Е, называется ограниченным, если он определен на всем Е и каждое ограниченное множество переводит снова в ограниченное.

Предложение 1. Всякий непрерывный линейный оператор ограничен.

Доказательство.

Пусть М – подмножество ограниченного множества Е, а подмножество АМ множества Е не ограничено. Тогда в Е найдется такая окрестность нуля V, что ни одно из множеств АМ не содержится в V. То тогда существует такая последовательность х из М, что ни один из элементов Ах не принадлежит V, и получается, что х ® 0 в Е, но последовательность {Ах}не сходится к 0 в Е, а это противоречит непрерывности оператора А.

В нормированных пространствах определение ограниченности линейных операторов можно сформулировать так: оператор А ограничен, если существует такая постоянная С, что для всякого f из Е

.

Наименьшее из чисел С, удовлетворяющее этому неравенству, называется нормой оператора А и обозначается .

Определение. Пусть X - векторное пространство. Линейное отображение P:X → X называется проектором в пространстве X, если , т.е. P(P(x)) = Px для любого элемента x из X.

Свойства проекторов.

Пусть P проектор в X с ядром N(P) и образом R(P).