Степінь з ірраціональним показником

3684
знака
0
таблиц
0
изображений

Вступ

Введення поняття степеня з ірраціональним показником

Означення поняття степеня з ірраціональним показником

Узагальнення поняття степеня

Список літератури


Вступ

З поняттям степені з ірраціональним показником учні ознайомуються або у 10 або у 11(12) классі залежно від профілю навчання та навчального закладу. Якщо розглянути підручник Бурда М.І. Дубінчук О.С. Мальований Ю.І. Математика 10-11 для шкіл, ліцеїв та гімназій гуманітарного профілю, то це поняття вводиться в 11 класі, причому, воно узагальнюється до поняття степеня з дійсним показником, у підручнику Бевз В.Г. Алгебра 10-11 для загальноосвітніх шкіл, з цим матеріал учні знайомляться ще в 10 класі.


Введення поняття

 

Після того, як для будь-якого дійсного числа ми визначили операцію пінесення до натурального степеня, для будь-якого  ми визначили операцію піднесення до нульового степеня та цілий від'ємний степінь, для будь-якого  – у додатний дробовий степінь, для будь-якого – у від'ємний дробовий степінь, з'являється питання: чи можна якимось чином визначити операцію піднесення до ірраціонального степеня, тобто визначити зміст виразу , для будь-якого дійсного х.

Виявляється, що для додатних чисел а можна надати сенсу запису ,.

Для цього треба розглянути 3 випадки: а=1, а>1, 0<a<1

1)  а=1, то за визначенням .

2)  Якщо а>1, то оберемо будь-яке раціональне число , та будь- яке раціональне число , тоді очевидно, що , а тому . Але , та оскільки а>1, тоді  і нарешті

, тобто .

Під  розуміють таке число, яке лежить між  та , при будь-якому виборі  та . Можна довести, що число  єдине для будь-якого а>1 та ірраціонального .

3)  Якщо 0<a<1, то оберемо будь-яке раціональне число , та будь- яке раціональне число , тоді очевидно, що , а тому .

Під  розуміють таке число, яке лежить між  та , при будь-якому виборі  та . Можна довести, що число  єдине для будь-якого 0<a<1та ірраціонального .

Розглянемо приклади:

 Для визначення степеня обирають 2 послідовності:

1; 1,7; 1,73; …

2; 1,8; 1,74;…

Причому, ці послідовності такі, що

Отримаємо наближення  з надлишком та недостачею. Звідси отримаємо  з надлишком та недостачею.

 Для визначення степеня обирають 2 послідовності:

1,4; 1,41; 1,414; …

1,5; 1,42; 1,415;…

Причому, ці послідовності такі, що

Отримаємо наближення  з надлишком та недостачею. Звідси отримаємо  з надлишком та недостачею.

Якщо  - від'ємне ірраціональне число (,), тоді вираз має той же самий сенс, який маєть степені із від'ємним раціональним показником:

 та .

Означення поняття

 

А тепер дамо означення степеня з ірраціональним показником:

Означення

Степенем з ірраціональним показником  та основою а, де а>0, називається дійсне число , яке є границею послідовності , де - послідовність раціональних чисел така, що границя .

 

Узагальнення поняття степеня

 

Узагальнимо поняття степеня:

Означення

Степенем  з дійсним показником  та основою а, де а>0, називається границя послідовності , де - послідовність раціональних чисел така, що границя .

При цьому для степеня з будь-яким дійсним показником справджуються ті ж самі властивості, як і для степеня з раціональним показником, а саме:

1) , .

2) , .

3) , .

4) , .

5) , .

6) ,,.


Список літератури

 

1. Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загальноосвіт. навч. закл. – К.: Зодіак-ЕКО, 2006. – 384 с.

2. Бевз Г.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10–11 кл. загальноосвіт. навч. закл. – К.: Освіта, 2005. – 255 с.

3. Бурда М.І., Дубінчук О.С., Мальований Ю.І. Математика 10-11: Навч. посіб. для шкіл, ліцеїв та гімназій гуманітарного профілю. – К.: Освіта,2004. – 223с.

4. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс​. А.Н. Колмогоров - 2001. – 320с.


Информация о работе «Степінь з ірраціональним показником»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 3684
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 0

Похожие работы

Скачать
67232
3
0

... допомогою цієї програми учень може сам перевіряти набуті знання, і вчитель може перевіряти знання певного учня. Вступ. МЕТА РОБОТИ - системазувати відомості про показникові та логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи в шкільному курсі алгебри старшої школи і розкрити роль і місце вивчення показникових та логарифмічних рівняньта нерівностей в школі та вибрати методику подання цієї теми. ...

Скачать
35390
1
14

... при всіх  , , тобто  й послідовність співвідношень (3.2.2) при дає розкладання  в ланцюговий дріб: (3.2.4) Теорема доведена. Тепер розкладемо в ланцюговий дріб число [2]. Теорема.3.2.2 (3.2.5) (послідовність неповних часток така: 2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, 1, 16, 1,...) , тобто елементи  розкладання  в ланцюговий дріб мають вигляд: ...

Скачать
100660
0
5

... , музикантам, винахідникам.[10]. 2.      Творча здібність (креативність) є самостійним фактором, незалежним від інтелекту (Дж. Гільфорд, К. Тейлор, Г. Грубер, Я.А. Пономарьов) – між рівнем інтелекту і рівнем креативності є незначна кореляція. Найбільш розвинутою концепцією є “теорія інтелектуального порогу” Е.П. Торранс: якщо IQ нижче 115-120, інтелект і креативність утворюють єдиний фактор, при ...

Скачать
513900
3
0

... до "внутрішнього життя", що розкривається як "здатність до товариськості, психологічного розуміння чужого душевного життя... здатність до інтроспекції і споглядальної настроєності" (Кульчицький О. Основи філософії і філософічних наук. Мюнхен, Львів, 1995, С. 155). Антеїзм, екзистенційність та кордоцентризм - характерні риси, якими визначається специфічність, унікальність української світоглядно-фі ...

0 комментариев


Наверх