Диференційне рівняння розімкненої та замкненої систем

2. Диференційне рівняння розімкненої та замкненої систем

 

Для розімкненої САК маємо систему диференційних рівнянь, що описують окремі елементи САК:

U₀ = К_в×a

U_п = К_гр×U₀

U_д ×(Т_пр + 1) = К_п ×U_п (17)

j × р(Т_мр+1) = К_д × U_д

b = К_ред × j

Розв”язуючи систему (17) отримаємо диференційне рівняння розімкненої не корегованої системи:р×(Т_мр+1) ×( Т_пр + 1)×b = К×a

 

Де - К = К_в×К_гр×К_п×К_д×К_ред .

Підставляючи числа отримаємо: К = 12×К_гр×8×2,2×0,001 = 0,21×К_гр

р×(0,35р+1) ×(0,016р + 1)×b =0,21·К_гр×a

Для замкненої САК маємо систему диференційних рівнянь, що описують окремі елементи САК:

U₀ = К_в×(a – b)

U_п = К_гр×U₀

U_д ×(Т_пр + 1) = К_п ×U_п (18)

j × р(Т_мр+1) = К_д × U_д

b = К_ред × j

Розв”язуючи систему (17) отримаємо диференційне рівняння розімкненої не корегованої системи:р×(Т_мр+1) ×( Т_пр + 1)×b + К×b = К×a

Підставляючи числа отримаємо:

р×(0,35р+1) ×(0,016р + 1)×b + 0,21×К_гр×b =0,21К_гр×a

Для похибки замкненої САК використовуємо систему диференційних рівнянь (18), враховуючи, що e = a - b =>b = a – e.

Р×(Т_мр+1) ×( Т_пр + 1)×( a – e) + К × ( a – e) = К×a

р×(Т_мр+1) ×( Т_пр + 1)× e + К×e = р×(Т_мр+1) ×( Т_пр + 1) × a

 

Підставляючи числа отримаємо:

р×(0,35р+1) ×(0,016р + 1) × e + К × e = р×(0,35р+1) ×(0,016р + 1) × a

 

3. Передавальні функції САК

Передавальні функції розімкненої САК та замкненої САК відносно завдання, похибки та збурення знаходимо з відповідних диференційних рівнянь.

1)  Передавальна функція розімкненої системи:

2)  Передавальна функція замкненої системи відносно завдання:

3)  Передавальна функція для похибки замкненої системи:

4)  Передавальна функція замкненої системи відносно збурення:

5. Структурна (алгоритмічна) схема системи (Рис 1.)

4. Структурна (алгоритмічна) схема системи

 

5. Граничний коефіцієнт підсилення

 

Визначаємо граничний коефіцієнт підсилення не корегованої замкненої системи. Запишемо характеристичне рівняння САК:

Т_мТ_пр³ + (Т_м + Т_п)×р³ + р + К = 0

0,0056р³ + 0,366р² + р + 0,21К_гр = 0

 

Для стійкості необхідно виконання двох умов :

·  Правило Стодоли : щоб усі три корені були додатніми, ця умова виконується.

·  Критерій Гурвіца : для кубічного рівняння а₁×а₂ – а₀×а₃ > 0

(Т_м + Т_п)×1 > Т_мТ_п×K_г=>

Отже К_г < 65.357

 

6. Вибір коефіцієнта підсилення електронного підсилювача

З умови, що запас стійкості має лежати в межах 2¸3 коефіцієнт підсилення дорівнює

К= К_г / 2,5 = 65.357/2,5 = 26,14

Приймаємо К = 26

Тоді коефіцієнт електронного підсилювача дорівнює:

К_гр = 26/0,21 = 123,8

 

7. Точність керування

 

Як відомо з курсу Теорії автоматичного керування усталена похибка слідкуючої системи дорівнює:

Де a₀ , f₀ – усталені значення завдання і збурення відповідно.

Оскільки ми не маємо даних стосовно збурю вальної дії М_с то ми нехтуємо другим доданком. Отже усталена похибка нашої САК дорівнює:

Отже робимо висновок, що система задовольняє необхідній точності.