Методы коллокаций и Галеркина

7004
знака
2
таблицы
4
изображения

Методы коллокаций и Галеркина

 

Метод коллокаций

Пусть необходимо определить функциюhttp://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/3.files/image002.gif, удовлетворяющую линейному дифференциальному уравнению

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/3.files/image004.gif (2.50)

и линейными краевыми условиями

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/3.files/image006.gif, (2.51)

причем http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/3.files/image008.gif

Выберем некоторую совокупность линейно независимых функций

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/3.files/image010.gif (2.52)

которую назовем системой базисных функций.

Пусть функция http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/3.files/image012.gif удовлетворяет неоднородным краевым условиям

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/3.files/image014.gif (2.53)


а остальные функции удовлетворяют соответствующим однородным краевым условиям:

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/3.files/image016.gif. (2.54)

Если краевые условия (2.51) однородны (A=B=0), то можно положить http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/3.files/image018.gif и рассматривать лишь систему функций http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/3.files/image020.gif.

Будем искать приближенное решение краевой задачи (2.50), (2.51) в виде линейной комбинации базисных функций

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/3.files/image022.gif. (2.55)

Тогда функция y удовлетворяет краевым условиям (2.51). В самом деле, в силу линейности краевых условий имеем

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/3.files/image024.gif

и аналогично http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/3.files/image026.gif

Составим функцию http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/3.files/image028.gif. Подставляя сюда вместо y выражение (2.55), будем иметь

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/3.files/image030.gif.(2.56)

Если при некотором выборе коэффициентов ciвыполнено равенство

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/3.files/image032.gif при http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/3.files/image034.gif

то функция y является точным решением краевой задачи (2.50), (2.51). Однако подобрать так удачно функции http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/3.files/image036.gif и коэффициенты ci в общем случае не удается. Поэтому ограничиваются тем, что требуют, чтобы функция http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/3.files/image038.gif обращалась в нуль в заданной системе точек http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/3.files/image040.gif из интервала [a, b], которые называются точками коллокации. Сама функция R называетсяневязкой уравнения (2.50). Очевидно, что в точках коллокации дифференциальное уравнение (2.50) будет удовлетворено точно, и невязка в этих точках равна нулю.

Итак, метод коллокации приводит к системе линейных уравнений

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/3.files/image042.gif.  (2.57)

Из системы (2.57) в случае ее совместности можно определить коэффициенты http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/3.files/image044.gif, после чего приближенное решение краевой задачи дается формулой (2.55).

 

Пример. Методом коллокации и методом сеток решить краевую задачу

http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/3.files/image046.gif  (2.58)


Информация о работе «Методы коллокаций и Галеркина»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 7004
Количество таблиц: 2
Количество изображений: 4

0 комментариев


Наверх