Дифференцирование. Интегрирование

Задание 1. Найти производные функций

a)

Пусть , , тогда

b)

 

Если функция имеет вид , то её производная находится по формуле .

Перейдем от десятичного логарифма к натуральному:

По свойству логарифма

Таким образом,

 

c)

 

Продифференцируем уравнение, считая y функцией от х:

Задание 2. Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график функции

Областью определения функции являются все действительные числа,

кроме х=0. В точке х=0 функция разрывна.

Функция нечетная, т. к.

Функция не пересекается с осями координат (уравнение y=0 не имеет решений).

Найдем производную функции:

 

.

 

Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю.

 

 

 

 

 

 

 

Функция возрастает в промежутке (-∞; – 1) U (1; ∞)

и убывает в промежутке (-1; 0) U (0; 1).

Функция имеет экстремумы: максимум – в точке х=-1, минимум – в точке х=1.

Исследуем функцию на выпуклость / вогнутость.

Для этого найдем производную второго порядка и, приравняв её к нулю, вычислим критические точки второго рода.

 

 

В точке х=0 вторая производная не существует, т. к. это точка разрыва функции. В интервале (-∞; 0) <0, следовательно, график функции в этом интервале выпуклый. В интервале (0;∞) >0, следовательно, график функции в этом интервале вогнутый.

Асимптоты графика функции :

1) вертикальная асимптота – прямая х=0

Т.к.  и

 

2) горизонтальных асимптот нет,

т. к.  и

 

3) наклонных асимптот нет,

 

т. к.

и

 

Задание 3. Найти экстремумы функции Z = ln (3 – x² + 2x – y²)

Найдем частные производные первого порядка.

 

М (1; 0) – стационарная точка.

Найдем вторые производные и их значения в точке М.

 

 

>0  Следовательно, функция Z = ln (3 – x² + 2x – y²) имеет экстремум в точке М (1; 0) – максимум, т. к. A< 0.

 

Задание 4. Вычислить неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием

a)

 

Решаем методом замены переменной. Положим ,

 

тогда   ,

  

Таким образом, получаем

 

 

Вернемся к переменной х.

 

Проверим дифференцированием:

 

b)

 

Воспользуемся таблицей неопределенных интегралов [Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил. – С. 850]

С

 

Проверим дифференцированием:

c)

 

Неправильную рациональную дробь приводим к правильной делением числителя на знаменатель, получаем

Согласно свойству интервала алгебраической суммы, имеем

 

 

 

Подстановка      приводит интеграл к виду

 

Возвращаясь к аргументу х, получаем

 

Таким образом, ,

где С=С₁+С₂

 

Проверим дифференцированием:

 

Задание 5. Вычислить определенный интеграл

 

Сначала вычислим неопределенный интеграл методом замены переменной. Полагая , находим

 

 

Вернемся к переменной х.

Таким образом,

Библиографический список

 

1.  Баврин, И.И. Высшая математика: учебник/ И.И. Баврин. – М.: Академия, 2003. – 616 с.:ил.

2.  Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике/М.Я. Выгодский. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил.

3.  Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике/М.Я. Выгодский. – СПб.: Изд. «Санкт-Петербург оркестр», 1994. – 416 с.:ил.