Великая теорема Ферма – два коротких доказательства

Великая теорема Ферма – два коротких доказательства

Бобров А.В.

123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д.10, корп. 1, кв. 15

Контактный телефон – 193-42-34

 

Последняя теорема Ферма, иногда называемая Великой, формулируется следующим образом:

В равенстве  числа  и  не могут быть одновременно целыми положительными, если .

Предположим, такие числа существуют. Тогда должны выполняться следующие условия:

·  Равенство справедливо для взаимно простых, не имеющих общих целых множителей, кроме 1, чисел  и , т.е. два числа – всегда нечетные.

·  Существуют числа  и , или , то есть для произвольно выбранных натуральных  существует бесконечное множество рациональных, действительных или комплексных чисел  и , удовлетворяющих приведенному равенству, если в этом множестве выполнимы арифметические действия. Для целых  числа  и  также будут целыми.

Вариант№1

Равенство (1)

путем последовательного деления на числа  и  всегда преобразуется в два многочлена (уравнения) -ой степени относительно :

(2)

(3)

Равенства (2) и (3) получены путем тождественных преобразований равенства (1), т.е. должны выполняться при одних и тех же значениях целых положительных чисел  и . По определению, необходимым и достаточным условием тождественности двух многочленов над некоторым числовым полем (в нашем случае – над множеством целых чисел) является равенство коэффициентов членов, содержащих одни и те же аргументы в одинаковых степенях, то есть должно выполняться:

, , … , (4)

Из (1) и (4) следует ,  то есть число , как общий арифметический корень уравнений (1), (2) и (3) не может быть рациональным при целых , ,  и .

Из равенства свободных членов следует:

, или , или

(5)

Вычитая из правой части равенства (5) левую, получим:

(6)

или, если , сократив на , получим:

(7)

Из равенства (7) следует, что для  числа  и  не могут быть одновременно положительными.

Представленные преобразования позволяют сделать следующие выводы:

·  для тождественных над множеством рациональных чисел многочленов (2) и (3) при  число , как общий арифметический корень уравнений (1), (2) и (3), не может быть рациональным при целых положительных , ,  и ;

·  многочлены (2) и (3) для  и натуральных  и  не тождественны над множеством рациональных чисел, если делители  и  равенства (1) являются иррациональными, откуда следует иррациональность числа ;

·  числа ,  и  в равенстве (1) для  не могут быть одновременно рациональными.

Для  противоречие исчезает, коэффициенты при  равны 1, а равенство свободных членов после подстановки значений  и  обращается в тождество:

. (8)

Если правую и левую части равенства (5) обозначить соответственно через  и , где  и  - целые положительные числа, то многочлены (2) и (3) преобразуются в квадратные уравнения относительно :

(9),

где неизвестное  обозначено общепринятым образом через , то есть .

 Из условий эквивалентности или анализа причин неэквивалентности этих уравнений следуют те же выводы.

Это доказательство опубликовано в 1993 г. в журнале РАН «Вопросы истории естествознания и техники», №3.

Со стороны оппонентов не поступило никаких возражений по существу, кроме утверждения, что в используемых для доказательства уравнениях известные и неизвестные величины зависят друг от друга – как будто может быть иначе. Любое аналитическое выражение, в котором присутствуют известные и неизвестные величины, есть выражение зависимости между ними, поэтому я не могу согласиться с подобным опровержением.

Вариант№2

Пусть в равенстве числа  и  - взаимно простые,  - нечетное. Для любых положительных чисел выполнима операция нахождения арифметического значения квадратного корня, то есть можно записать:

(1)

где ,  - действительные положительные множители числа .

Из (1) следует:

, (2)

В соответствии со свойствами показательной функции, для действительных положительных чисел ,  и целого  существуют единственные значения показателей степени , удовлетворяющие равенствам:

, (3)

где , .

Из (3) следует , , или после сокращения на числа , получим:

(4)

Из (1), (2) и (3) следует:

, (5)

или, с учетом равенств (3) и (4):

(6)

Вынесем за скобки общий множитель :

(7)

Из (5) и (7) следует, что числа ,  и  содержат общий множитель , что противоречит условию их взаимной простоты, если . Из  следует , , то есть , , и равенства (5) и (7) принимают вид:

(8)

Из (8) следует, что при нечетном  числа  и  также целые, причем всегда имеет место тождество:

(9)

что для одновременно целых ,  и  выполнимо только при , или , , что и требовалось доказать.

Доказательство можно вести и несколько иным способом. Все числа равенства , где ,  и  - произвольно выбранные натуральные числа,  - действительное положительное число, через преобразования (1)…(4) могут быть выражены в виде слагаемых тождества (5).

Вынесем за скобки множитель  и поделим на него все слагаемые тождества (5):

(10)

где .

В соответствии со свойствами показательной функции, произвольно выбранным натуральным числам ,  и , например из равенства (5), соответствует единственное значение , удовлетворяющее условию:

(11)

тогда , или

(12)

где ,  и  - целые числа.

Из (10), (11) и (12) следует:

(13)

то есть числа  и  могут быть одновременно целыми только при , или , . При  числа  и  есть последовательные целые числа. Еще Эвклидом доказано, что всякое нечетное число может быть выражено, как разность квадратов двух последовательных целых чисел, которые и могут быть найдены с помощью тождества (10) для любых целых  и нечетных .

Отметим, что равенство (12) получено путем деления равенства (5) на множитель , при этом число  в этих равенствах одно и то же, откуда следует , , , и тождество (10) принимает вид тождества (8).

Отметим также, что тождества (8) и (10) справедливы не только для целых значений . Подставляя вместо  любую рациональную дробь и полагая , можно найти все Пифагоровы числа.

Приведенные преобразования равенства Ферма над множеством натуральных чисел показывают, что с помощью конечного числа арифметических действий оно всегда приводится к тождеству (13), что и доказывает теорему.

Я счел необходимым в дополнение к размещенному на сайте http://www./ доказательству предложить и эти два варианта, один из которых в сравнении с ранее размещенным является более развернутым.

А.В.Бобров

Великая теорема Ферма

Бобров Александр Владимирович, 1936 г. р., образование высшее, закончил в 1960 году МВТУ им. Баумана по специальности инженер-механик. В настоящее время – пенсионер.

Домашний адрес: 123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д. 10, корп.1, кв. 15.

Телефон (495) 193-42-34, моб. тел. 8-903-560-07-15

The evidence of the Fermat theorem

Alexander V. Bobrov

The evidence of the Fermat great theorem by elementary method is presented