Функции алгебры логики. Логический базис

10546
знаков
2
таблицы
2
изображения

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра радиотехнических устройств

РЕФЕРАТ

На тему:

«Функции алгебры логики. Логический базис»

МИНСК, 2008


1. Функции алгебры логики (ФАЛ)

 

Радиоэлектроника в настоящее время во многом определяет научно- технический прогресс и объединяет ряд отдельных областей науки и техники, развившихся из радиотехники и электроники.

Радиотехника - область науки и техники, связанная с разработкой устройств и систем, обеспечивающих генерирование, усиление, преобразование, хранение, а также излучение и прием электромагнитных колебаний радиочастотного диапазона, используемых для передачи информации.

В современных радиотехнических системах и комплексах до 90% разрабатываемых устройств реализуется на элементах цифровой и вычислительной техники и используются цифровые методы обработки сигналов.

В настоящее время бурно развивается по экспоненциальному закону вычислительная техника и ее элементная база. А не так давно первые интегральные микросхемы (1958 год) содержали до десяти транзисторов. Сегодня современные микропроцессоры содержат до 10 миллионов транзисторов на один кристалл, и менее чем через десять лет это число достигнет 100 миллионов транзисторов.

Уже отошла в историю дискретная схемотехника, когда различные узлы строились на печатных платах с использованием отдельных навесных радиоэлектронных компонентов: транзисторов, резисторов, конденсаторов и других элементов. Ранее соединения выполнялись с помощью внешнего печатного монтажа, теперь соединения и монтаж осуществляется внутри кристалла. Поэтому современный инженер электронной техники должен владеть передовыми методами и технологиями, чтобы уметь приспособить их завтра к вычислительной технике будущих поколений, овладеть практическими приемами проектирования устройств на программируемых логических интегральных схемах.

Логические выражения n двоичных переменных с помощью конечного числа логических операций можно рассматривать как некоторую функцию, отражающую взаимную связь между входными и выходными переменными. Логические операции конъюнкции  и дизъюнкции  можно представить простейшими функциями вида:  и . Эти функции называются аналогично логическим операциям – функциями И и ИЛИ.

Такие ФАЛ подобно логическим выражениям могут быть заданы аналитическим и табличным способами.

При аналитическом способе ФАЛ задается в виде логических выражений, получаемых путем логических преобразований с помощью законов и правил Булевой алгебры.

При табличном способе ФАЛ задается таблицей истинности, где число всех возможных наборов (комбинаций) аргументов конечно. Если число аргументов ФАЛ равно n, то число их возможных наборов , а число различных функций , тогда при n=2, F=16. Составим таблицу истинности для функций двух аргументов.

Таблица 1.

Аргументы Функции

.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

В таблице 1 приведены элементарные ФАЛ  двух аргументов. В левой части таблицы перечислены все возможные наборы аргументов  и , в правой части приведены значения ФАЛ на соответствующих входных наборах. Значения всей совокупности этих наборов переменных представлены в таблице последовательностью чисел в двоичной системе счисления.

Каждая ФАЛ  обозначает одну из 16 возможных логических операций над двумя переменными  и , имеет свою таблицу истинности, собственное название и условное обозначение.

Основные сведения об элементарных функциях  даны в таблице 2. Таблицы истинности для каждой ФАЛ составляются отдельно по таблице 1.

Таблица 2

Функция

Операционные символы Обозначения, названия Зарубежные аналоги

0 Константа 0 Const 0

И – лог. умножитель

AND – Conjunctor

Запрет

Inhibition

Повторитель

BF – Buffer

Запрет

Inhibition

Повторитель

BF – Buffer

Исключающее ИЛИ

Exlusive – OR

ИЛИ – лог. сумматор

OR – Disjunctor

ИЛИ – НЕ, функция Пирса

NOR,

Peers F.

Исключ. ИЛИ – НЕ

EX – NOR

НЕ – инвертор

NOT – Invertor

Импликатор

Implicator

НЕ – инвертор

NOT – Invertor

Импликатор

Implicator

И – НЕ, функция Шеффера

NAND, Shaffer F.

1

Генератор 1

Generator 1

В таблице 2 часто применяемыми являются функции:

-повторители 1-го и 2-го аргументов;

 – инверсии 1-го и 2-го аргументов;

 – функция И (конъюнкция), логическое умножение;

 – функция И-НЕ (базис Шеффера);

 – функция ИЛИ (дизъюнкция), логическое сложение;

 – функция ИЛИ-НЕ (базис Пирса);

 – функция неравнозначности, реализуется ЛЭ “Исключающее ИЛИ” (сумматор по модулю два);

 – функция равнозначности реализуется ЛЭ “Исключающее ИЛИ-НЕ”.

Рассмотренные элементарные функции двух аргументов  играют важную роль при преобразованиях сложных логических выражений, а также при преобразовании функциональных цифровых узлов.

Функции n переменных, значения которых заданы во всех точках области определения, считаются полностью определенными ФАЛ. Если какая-либо функция имеет запрещенные наборы переменных и ее значения на указанных наборах не определены, то такая ФАЛ называется не полностью определенной. Такие наборы будем отмечать в таблицах истинности (*) и при необходимости доопределять их значениями 0 и 1. Эти вопросы будут рассматриваться позже.

Логические функции, которые считаются полностью определенными, могут быть представлены различными формами.

ДНФ – дизъюнктивная нормальная форма записи ФАЛ представляется в виде суммы (дизъюнкции) ряда элементарных членов (минтермов), каждый из которых является произведением (конъюнкцией) аргументов или их инверсий. Термин “нормальная форма” предполагает, что в логическом выражении, задающем функцию, последовательно выполняются не более двух базовых операций (кроме инверсии).

Запишем ФАЛ в ДНФ:

; (1)

Функцию (3.19) можно записать в виде дизъюнкции минтермов:

,

где - конъюнкции аргументов ФАЛ, называемые минтермами.

СДНФ – совершенная дизъюнктивная нормальная форма записи ФАЛ представляется в ДНФ, где в каждом элементарном члене (минтерме), имеющем одинаковую размерность, представлены все аргументы функции или их инверсии.

Запишем ФАЛ в СДНФ:

. (2)

Если записать ФАЛ в виде:

, (3)

 то форма представления данной функции не является СДНФ, так как второй минтерм не содержит аргумента , а также не является ДНФ, так как третий минтерм  не является элементарным.

Функцию  можно упростить (минимизировать) и представить минимальной ДНФ (МДНФ).

(4)

Полученные элементарные члены МДНФ называются импликантами.

КНФ – конъюнктивная нормальная форма записи ФАЛ, представляется в виде произведения (конъюнкции) ряда элементарных членов (макстермов), которые являются суммой (дизъюнкцией) аргументов ФАЛ.

Запишем функцию  в КНФ:

. (5)

СКНФ – совершенная конъюнктивная нормальная форма записи ФАЛ представляется в КНФ, где в каждом элементарном члене (макстерме) представлены все аргументы функции либо их инверсии.

Запишем функцию  в СКНФ:

. (6)

По функциям, представленным в СДНФ и СКНФ, можно построить таблицу истинности и наоборот – по таблице истинности можно записать ФАЛ в СДНФ и СКНФ.

На основании общей табл. 1 составим таблицу истинности функции неравнозначности  и запишем ее в СДНФ и СКНФ.

На наборах N(2,3), где функция принимает значения 1, записываем ФАЛ в СДНФ, а на наборах N(1,4) – в СКНФ. При записи ФАЛ в СДНФ аргументы x=0 записываются с инверсией , а в СКНФ – без инверсии.

При записи функции в СДНФ по таблице истинности необходимо записать столько дизъюнктивных членов (минтермов), представляющих собой конъюнкции всех аргументов, сколько единиц содержит функция в таблице. Минтермы соединяются знаком логического суммирования.

Если в наборе значение аргумента равно нулю, то в конъюнкцию входит инверсия данного аргумента.

При записи ФАЛ в СКНФ необходимо записать столько конъюнктивных членов (макстермов), сколько нулей содержит функция. Макстермы (конъюнкции аргументов) соединяются знаком логического умножения. Если в наборе значение аргумента равно нулю, то в дизъюнкцию входит аргумент без инверсии.

2. Логический базис

 

Логические функции могут быть реализованы простейшими логическими элементами. Совокупность логических элементов И, ИЛИ, НЕ, с помощью которых можно воспроизвести и реализовать любую ФАЛ, будем называть полным логическим базисом.

Базис И, ИЛИ, НЕ обладает избыточностью и не является минимальным. Из этой совокупности ЛЭ можно исключить логический элемент И (либо ЛЭ ИЛИ), тогда наборы И, НЕ и ИЛИ, НЕ также будут обладать свойством базиса.

При проектировании логических схем вычислительной техники самое широкое применение получили базис Шеффера И-НЕ и базис Пирса ИЛИ-НЕ, обладающие свойством логического базиса.

Следует отметить, что одну и ту же логическую функцию (операцию) можно реализовать в различных базисах. Покажем это на примерах простых логических операций дизъюнкции и конъюнкции:

; . (7)

Используя законы инверсии  и , преобразуем логические выражения :

;. (8)

Выражения (7) отражают принцип двойственности алгебры логики: если в логическом выражении операцию дизъюнкции заменить на операцию конъюнкции (либо наоборот) и проинвертировать все переменные, то результат окажется инверсным прежнему значению.

Используя принцип двойственности алгебры логики, реализуем логическое выражение (7) в различных базисах.

Рис. 2

Из рис.2 следует: если переименовать все входы и выходы логического элемента ЛЭ1 на инверсные значения и заменить ЛЭ дизъюнкции на ЛЭ2 конъюнкции, то функции дизъюнкции можно выполнить с помощью элементов НЕ, И (ЛС3) либо базиса Шеффера И-НЕ (ЛС4).

Все логические схемы (рис. 2) выполняют логическую операцию (функцию) ИЛИ, которую можно реализовать на однотипных логических элементах И-НЕ, а при наличии инверсных сигналов в проектируемом устройстве – на одном ЛЭ И-НЕ.

На рис. 2 ЛС3 и ЛС4 – логические схемы, в состав которых входят несколько логических элементов ЛЭ.

Аналогично можно показать, что логическую операцию (функцию) И можно выполнить в базисах НЕ, ИЛИ либо в базисе Пирса ИЛИ-НЕ (рис. 3).

Рис. 3

Таким образом, логический базис, представляющий собой совокупность типов логических элементов, может быть выполнен на универсальных логических элементах И-НЕ и ИЛИ-НЕ, выпускаемых промышленностью в интегральном исполнении. Полный логический базис И, ИЛИ, НЕ обычно используется на начальной стадии проектирования функциональных узлов для составления функциональных схем.


ЛИТЕРАТУРА

1. Браммер Ю.А. Цифровые устройства: Учеб. пособие для вузов. –М.:Высш. шк., 2004. –229с.

2. Пухальский Г.И., Новосельцева Т.Я. Цифровые устройства: Учеб. пособие для втузов.- СПб.: Политехника, 1996.- 885 с.

3. Угрюмов Е.П. Цифровая схемотехника: Учеб. пособие для вузов.-СПб: БХВ-Петербург, 2000, 2004. – 528с.


Информация о работе «Функции алгебры логики. Логический базис»
Раздел: Коммуникации и связь
Количество знаков с пробелами: 10546
Количество таблиц: 2
Количество изображений: 2

Похожие работы

Скачать
21878
27
4

... значение функции равно единице, а ноль не ставится, а для КСНФ – наоборот. Диаграмма для двух логических переменных (для ДСНФ): Для трех переменных: Карты Карно используются для ручной минимизации функций алгебры логики при небольшом количестве переменных. Правило минимизации: склеиванию подвергаются 2,4,8,16, клеток и клетки, лежащие на границе карты. При числе переменных 5 и ...

Скачать
29947
14
9

... 0 и 1: . 10. Законы Блейка-Порецкого: . 11. Связь импликации  с отрицанием – и дизъюнкцией : . 12. Связь эквивалентности ~ с дизъюнкцией , конъюнкцией  и отрицанием: ~ y =. Всякая функция алгебры логики может быть реализована некоторой формулой языка с символами ~, –. 1.2 Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы (ДНФ и КНФ) ДНФ и КНФ играют особую роль в алгебре ...

Скачать
9967
4
1

... схемами с односторонней проводимостью, имеющими конечное число входов и один выход. Простейшие электронные схемы, реализующие элементарные булевы функции (НЕ, И, ИЛИ, ИЛИ-НЕ, И-НЕ), называются логическими элементами (ЛЭ). Аналитическая форма представления булевых функций При решении конкретных технических задач булевы функции, отражающие логические связи, наиболее часто задаются в табличной ...

Скачать
35831
55
44

осхемы К155ЛА3 (4 логических элемента 2И-НЕ). Принцип работы ЛЭ И-НЕ ТТЛ Основная особенность микросхем ТТЛ состоит в том, что во входной цепи используется специфический интегральный прибор – многоэмиттерный транзистор (МЭТ), имеющий несколько эмиттеров, объединенных общей базой. Эмиттеры расположены так, что непосредственное взаимодействие между ними через участок базы отсутствует. Поэтому МЭТ ...

0 комментариев


Наверх