Решетчатые фильтры для стационарных случайных процессов



1. Достоинства решетчатых фильтров

Построение АР модели или синтез АР фильтра требуют вычисления коэффициентов АР. Для этого необходимо обращать корреляционную матрицу, а эта операция, как правило, сопряжена с большим объемом вычислений.

Поиски эффективных алгоритмов вычисления коэффициентов АР привели к синтезу решетчатых структур. Решетчатые структуры могут быть реализованы в виде решетчатых фильтров (РФ). Параметрами РФ являются коэффициенты отражения и число звеньев фильтра. Коэффициенты отражения однозначно связаны нелинейными соотношениями с параметрами АР и определяются, в конечном счете, корреляционной функцией случайного процесса. Число звеньев РФ равно порядку АР модели. РФ, также как и АР фильтры, являются фильтрами предсказания, минимизирующими дисперсию ошибки предсказания.

Несмотря на то, что АР фильтры и РФ математически эквивалентны, между ними существует ряд различий, существенных с практической точки зрения. При цифровой реализации фильтров особое значение играет шум округления. Его появление связано с тем, что значения величин приходится представлять конечным числом разрядов. Как показывает опыт, в этом отношении РФ более эффективны. Объясняется это тем, что ошибки округления (i-1) – го звена в РФ частично компенсируются в i-м звене РФ, чего нет в АР фильтрах.

Другим существенным свойством цифровых фильтров является их чувствительность к квантованной форме представления параметров фильтра. Поэтому, естественно, возникает вопрос: насколько сильно зависят характеристики фильтра от отклонения величин параметров? Доказано, что РФ менее чувствительны к погрешностям квантования параметров по сравнению с фильтрами прямой реализации.

При синтезе РФ, состоящего из p звеньев, используются те же коэффициенты отражения, что и у (p-1) – звенного фильтра. В АР фильтре при увеличении числа звеньев фильтра приходится заново пересчитывать все коэффициенты АР фильтра. Следовательно, использование РФ для обработки случайных сигналов имеет ряд преимуществ, по сравнению с АР фильтрами.

 

2. Синтез решетчатого фильтра

Несмотря на близость РФ и АР фильтров, использование РФ требует введения новых понятий и соотношений, на основе которых выводится структура РФ. Прежде всего, необходимо остановиться на выводе рекуррентных соотношений, которые носят название алгоритма Левинсона-Дарбина. Алгоритм позволяет вычислять для р-го порядка коэффициенты АР и отражения РФ по найденным коэффициентам АР модели сигнала 1…р порядков.

По аналогии с фильтром прямого предсказания для сигнала, описываемого моделью АР р-го порядка, можно ввести фильтр обратного предсказания, описываемый выражением

, (1)

где – коэффициенты фильтра обратного предсказания, состоящего из р звеньев,  – ошибка обратного предсказания на выходе р-го звена фильтра. Уравнение описывает регрессию значения случайного процесса  на последующие .

Значения коэффициентов фильтра обратного предсказания находятся с помощью системы уравнений, аналогичной системе уравнений Юла-Уокера можно представить обобщенные уравнения Юла-Уокера в матричном виде


, (2)

где -квадрат СКО, равный дисперсии ошибки прямого предсказания, Rp – корреляционная матрица (p+1) – го порядка

. (3)

Чтобы не выходить за рамки общепринятых в теории решетчатых фильтров обозначений, в дальнейшем изложении будет использоваться замена и .

Умножив левую и правую части уравнения на, и усреднив, легко получить уравнение Юла-Уокера для фильтра обратного предсказания, аналогичное (3)

, (4)

где – дисперсия ошибки обратного предсказания на выходе p-го звена фильтра обратного предсказания. Объединив матричные уравнения (2) и (4) можно записать общее уравнение

. (5)

Очевидно, что для (р+1) – звенного фильтра должно так же выполняться соотношение типа


. (6)

От матричного уравнения (5) можно перейти к матричному уравнению (6) лишь в том случае, если коэффициенты фильтров прямого и обратного предсказания p-го порядка связаны с коэффициентами фильтра (p+1) – го порядка следующим образом

, (7)

где- некоторые, так называемые, коэффициенты отражения. Умножив справа левую и правую части матричного уравнения (7), на корреляционную матрицу  можно показать, что коэффициенты отражения удовлетворяют соотношениям

, (8а)

. (8б)

Величины, входящие в соотношения (8а) и (8б), описываемые выражениями

, (9а)

, (9б)


как будет показано ниже, интерпретируются как взаимная корреляция ошибок прямого и обратного предсказания при единичной задержке. Для скалярного случая справедливы равенства

. (10)

Используя соотношения (8а), (8б) и учитывая (7), алгоритм Левинсона-Дарбина, позволяющий вычислять коэффициенты АР по коэффициентам отражения, можно представить в виде

 (11)

, (12)

,  (13)

с инициацией

, . (14)

Найденный алгоритм Левинсона-Дарбина позволяет получить структуру РФ. Формулы дают выражение

, (15)

которое с помощью (4) и учетом (15) для р-го звена приводится к виду


.  (16)

Аналогично можно найти выражение для ошибки обратного предсказания в р звене

.  (17)

Полученные выражения (16) и (17) дают возможность представить структуру РФ в виде, изображенном на рисунке 1.

Рисунок 1. Обеляющий РФ

При поступлении сигнала на вход фильтра на выходе каждого звена фильтра появятся ошибки предсказания вперед и назад. Как видно из рисунка 3 ошибки предсказания вперед и назад связаны друг с другом соотношениями (14) и (15).

Можно показать, используя соотношение (17), что решение задачи минимизации дисперсии ошибки предсказания относительно коэффициента отражения Кp дает следующее выражение для коэффициента отражения


. (18)

К этому же соотношению можно придти путем несложных преобразований выражений (14) и (15). Таким образом, РФ, коэффициенты отражения которого определяются алгоритмом Левинсона-Дарбина, минимизирует дисперсию ошибки предсказания. Выражение (18) дает удобную оценку коэффициентов отражения РФ, позволяющее обновлять их при адаптации фильтра.

Из рисунка 1 видно, что текущий отсчет случайного процесса можно представить в виде

, , (19)

т.е. взвешенным суммированием ошибок обратного предсказания в предшествующий момент времени с коэффициентами веса, равными коэффициентам отражения. Случайная величина хt, представленная в виде (19), полностью определяется коэффициентами веса, роль которых играют коэффициенты отражения. Таким образом, коэффициенты отражения полностью характеризуют случайный процесс в рамках модели АР. Это свойство коэффициентов отражения РФ позволяет использовать их в качестве информативного признака при распознавании и спектральном оценивании.


Информация о работе «Решетчатые фильтры для стационарных случайных процессов»
Раздел: Коммуникации и связь
Количество знаков с пробелами: 11185
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 2

Похожие работы

Скачать
119194
12
8

... местные отсосы (предупреждение поступления вредных веществ в помещение путем их отсоса мокрыми пылеулавливающими устройствами); индивидуальной защиты (применение респираторов). Обслуживание оборудования для производства макарон характеризуется концентрацией внимания оператора следящего за выполнением различных процессов. Для снижение зрительных нагрузок применяется боковое естественное освещение ...

Скачать
22539
12
0

... 1 – «-» Причем 1-ый разряд слева – знаковый разряд. 16 14 12 10 8 6 4 2 Т 2Т 2. Связи между аналоговыми и дискретными сигналами. При обработке сигнала на ЭВМ необходимо в максимальной степени, чтобы дискретный или цифровой сигнал содержал все признаки аналогового сигнала. При дискретизации возможна потеря информации, которая ...

Скачать
720985
5
0

... изолировать себя от земли (стоять на сухих досках, деревянной лестнице и т.д.). Билет № 4. ИТР ответственные за безопасную эксплуатацию ТПУ и ТС 1.  Требования к персоналу. Обучение и работа с персоналом Лица, принимаемые на работу по обслуживанию теплопотребляющих установок и тепловых сетей, должны пройти предварительный медицинский осмотр и в дальнейшем проходить его периодически в ...

Скачать
109728
0
55

... именно соседние в сигнальном пространстве точки, которые как раз более всего подвержены возможности «перепутаться» под действием помех. 4. Характеристики приема сигналов в телекоммуникационных системах 4.1 Вероятности ошибок различения M известных сигналов Под обнаружением сигнала в радиоэлектронике понимают анализ принятого колебания y(t), завершающийся вынесением решения о наличии или ...

0 комментариев


Наверх