Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов

8770
знаков
4
таблицы
1
изображение

Пермский государственный технический университет

Строительный факультет

Кафедра строительной механики и вычислительной техники

Курсовая работа

по дисциплине

ИНФОРМАТИКА

Тема: Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов

Работу выполнил:

Работу принял:

г. Пермь, 2008 г.


СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1 Решение нелинейного уравнения

1.1 Отделение (локализация) корней

1.2 Уточнение корня

1.2.1 Метод Ньютона

2 Численное интегрирование

2.1 Квадратурные формулы прямоугольников


Введение

Зачастую решение некоторых строительных задач сводится к решению достаточно сложных нелинейных уравнений, которые могут представлять собой самостоятельную задачу (например, при проектировании очистных сооружений зависимости, связывающие проектные параметры процесса очистки являются чаще всего нелинейными) или являться составной частью более сложных задач (например, частью расчета сооружения на устойчивость). Корни таких уравнений сравнительно редко удается найти точными методами. Кроме того, в некоторых случаях и коэффициенты уравнения, полученные в процессе эксперимента или как результаты предварительных расчетов, известны лишь приблизительно. Значит, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл, и важное значение приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности.

Нелинейные уравнения бывают алгебраическими и трансцендентными.

Любое нелинейное уравнение с одним неизвестным можно представить в виде

 

где функция  определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале А < х < В.

Всякое значение х*, обращающее уравнение  в тождество, называется корнем этого уравнения, т.е. .

С геометрической точки зрения задача нахождения корней уравнения  эквивалентна задаче нахождения нулей функции у=f(х) или абсцисс точек пересечения графика функции с осью X, т.е. значений хi , для которых выполняется условие  (для i=1, 2,......).

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые (точные) и итерационные (приближенные).

Прямые методы позволяют записать корни уравнения в аналитическом виде, т.е. в виде некоторой формулы. На практике класс таких уравнений весьма невелик.

Итерационные (приближенные) методы – это методы последовательных приближений.

Алгоритм нахождения приближенных значений корней уравнения складывается из двух этапов.

Первый этап - отделение или локализация корней. На этом этапе необходимо решить следующие задачи:

·     исследовать количество, характер и расположение корней;

·     найти их приближенные значения (нулевые итерации).

Второй этап - уточнение приближенного корня до заданной степени точности


1. Решение нелинейного уравнения

 

1.1      Отделение (локализация) корней

Отделить (локализовать) корни - это значит выделить из области допустимых значений функции f(x) отрезки, в каждом из которых содержится единственный корень. Отделить корни можно разными способами: построением таблицы значений функции y=f(x); графическим методом; исходя из физического смысла задач. Рассмотрим более подробно графический метод. Построим график функции

Х у=е^х+lnx-10*x
1,000000 -7,281718
1,200000 -8,497562
1,400000 -9,608328
1,600000 -10,576964
1,800000 -11,362566
2,000000 -11,917797
2,200000 -12,186529
2,400000 -12,101355
2,600000 -11,580751
2,800000 -10,525734
3,000000 -8,815851
3,200000 -6,304319
3,400000 -2,812125
3,600000 1,879168
3,800000 8,036186
4,000000 15,984444
4,200000 26,121416
4,400000 38,932473
4,600000 55,010372
4,800000 75,079033
5,000000 100,022597

 

Теорема 1. Если непрерывная на отрезке [a;b] функция f(x) принимает на концах его противоположные знаки, т.е. f(a) f(b)<0 , то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения f(x)=0. Корень заведомо будет единственным, если производная f/(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (a;b), т.е. если f/(x)>0 (или f/(x<0)) при а<х<b.

Искомый корень уравнения находится в интервале (3;4).

1.2      Уточнение корня

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения корня х0. В результате этого процесса находится последовательность приближений (итераций) значений корня уравнения f(x)=0:

х1, х2, …, хп

Если эта последовательность имеет предел

,

то говорят, что итерационный процесс сходится и сходится к точному решению уравнения х[3;4].

На практике нужно ограничивать итерационный процесс конечным числом шагов (итераций) п. Количество итераций зависит от требуемой точности нахождения корня.

Для прекращения итерационного процесса применяются различные критерии, зависящие от вида функции у=f(х) в окрестности корня.

Существует несколько итерационных методов решения нелинейных уравнений: метод половинного деления (бисекций), метод хорд, метод Ньютона (метод касательных), модифицированный метод Ньютона.

Рассмотрим более подробно метод хорд.

1.2.1   Метод Ньютона

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшого участка дуги кривой у=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке этой кривой.

Пусть функция у=ех+lnх-10х на отрезке [3;5] удовлетворяет условиям теоремы 1.

Положим для определенности  для  и f(5)>0. И выберем в качестве нулевого приближения х0=5, для которого выполняется условие f(x)*f”(x)>0.

Проведем касательную к кривой у=f(x) в точке В00; f(x0)]. В качестве первого приближения корня х1возмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью ОХ. Через точку В11; f(x1)] снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой с осью ОХ даст нам второе приближение корня х2 и т.д.

Уравнение касательной в точке В11; f(x1)] (п=0,1,2…) к нашей кривой записывается

Пологая у=0, х=хп+1, получим формулу для построения последовательности корня нашего уравнения, т.е. итерационную последовательность

.

Метод касательных хорошо реализуется на ЭВМ

Метод Ньютона

 

 

Выбор нулевого приближения: Х0=

5,0000

 

 

f(x)=е^х+lnх-10*х

 

 

f(X0)*f''(X0)>0

f'(x)=е^x+1/x-10

n

Xn

f(Xn)

f'(Xn)

If(Xn)I

0 5,00000 100,02260 138,61316 100,02260
1 4,27840 30,79482 62,35902 30,79482
2 3,78457 7,50210 34,28113 7,50210
3 3,56573 0,97941 25,64582 0,97941
4 3,52754 0,02541 24,32372 0,02541
5 3,52650 0,00002 24,28827 0,00002
6 3,52650 0,00000 24,28824 0,00000
7 3,52650 0,00000 24,28824 0,00000
8 3,52650 0,00000 24,28824 0,00000

Вывод: к заданной точности  наиболее близка 5-я итерация.

, .

Проверим решение данного уравнения методом надстройки:

Нелинейное уравнение е^x+lnx-10*x=0
Х0 Xn F(Xn)
3,5265 3,5265 0,00005

                                                               2           Численное интегрирование

При решении достаточно большого круга технических задач приходится сталкиваться с необходимостью вычисления определённого интеграла.

Очень часто применяют формулы для приближённого вычисления интегралов.

Такие формулы называют квадратурными формулами или формулами численного интегрирования.

Идея численного метода заключается в замене криволинейной трапеции фигурой, площадь, которой вычисляется достаточно просто.

2.1      Квадратурные формулы прямоугольников

Отрезок интегрирования [а;b] разбиваем на п равных отрезков и получаем п+1 равноудаленных точек: х0=а, хп=b, хi+1=xi+h, i=(0,1,2…,
п-1), где h шаг разбивки. При этом обозначим уi=f(хi).

Площадь каждой элементарной криволинейной трапеции заменим площадью прямоугольника с основанием h и высотой , где  , i=0,1,2,…,п+1.

Существует несколько формул прямоугольников: «левых» (входящих), «правых» (выходящих) и «средних».

В нашем случае рассмотрим подробнее формулу «средних» прямоугольников, когда

.

Произведём разбивку для n=5 и n=10:



a=

3,0000

Численное интегрирование

 

b=

3,5265 n= 5

J=

 

h=

0,1053

 

Номер Значение

f(x)

Метод

 

узла узла ср.прямоуг

 

1 3,0000 -8,8159 0,0000

 

2 3,1053 -7,6040 -0,9228

 

3 3,2106 -6,1456 -1,7179

 

4 3,3159 -4,4131 -2,3595

 

5 3,4212 -2,3759 -2,8187

 

6 3,5265 0,0000 -3,0633

 

a=

3,0000

 

 

b=

3,5265 n= 10

 

 

h=

0,0527

 

Номер Значение

f(x)

Метод

 

узла узла ср.прямоуг

 

1 3,0000 -8,8159 0,0000

 

2 3,0527 -8,2391 -0,4628

 

3 3,1053 -7,6040 -0,8952

 

4 3,1580 -6,9073 -1,2941

 

5 3,2106 -6,1456 -1,6564

 

6 3,2633 -5,3154 -1,9786

 

7 3,3159 -4,4131 -2,2571

 

8 3,3686 -3,4346 -2,4880

 

9 3,4212 -2,3759 -2,6675

 

10 3,4739 -1,2325 -2,7912

 

11 3,5265 0,0000 -2,8547

 

a=

3,5265

Численное интегрирование

b=

4,0000 n= 5

J=

h=

0,0947
Номер Значение

f(x)

Метод
узла узла ср.прямоуг
1 3,5265 0,0000 0,0000
2 3,6212 2,4572 0,0045
3 3,7159 5,2492 0,2417
4 3,8106 8,4093 0,7433
5 3,9053 11,9743 1,5441
6 4,0000 15,9844 2,6825

a=

3,5265

 

b=

4,0000 n= 10

 

h=

0,0474
Номер Значение

f(x)

Метод
узла узла ср.прямоуг
1 3,5265 0,0000 0,0000
2 3,5739 1,1887 0,0011
3 3,6212 2,4572 0,0585
4 3,6686 3,8093 0,1760
5 3,7159 5,2492 0,3575
6 3,7633 6,7810 0,6072
7 3,8106 8,4093 0,9294
8 3,8580 10,1388 1,3287
9 3,9053 11,9743 1,8099
10 3,9527 13,9211 2,3780
11 4,0000 15,9844 3,0382

Информация о работе «Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов»
Раздел: Информатика, программирование
Количество знаков с пробелами: 8770
Количество таблиц: 4
Количество изображений: 1

Похожие работы

Скачать
69267
1
24

... для свай на второй площадке составляет - 1,33. То есть при увеличении бетона на 27% имеем большие приращения сопротивления вертикальной нагрузке. В связи с этим можно считать, что среди рассмотренных типоразмеров сваи, наиболее рациональной является бипирамидальная свая С-3 для первой площадки и С'-3 для второй площадки. На рис. 3.2 представлены значения сопротивлений бипирамидальных свай, ...

Скачать
95394
5
0

... экспертами, но, как отмечают авторы, для уточнения значений требуется ее дальнейшая производственная проверка. Экспертные системы При наличии разнообразных методов окончательное определение формулировки прогноза лавинной опасности остается за специалистом. Образование, опыт, интуиция, способность оценить неучтенные прогностическими технологиями факторы, выявить ведущий из них на текущий момент ...

Скачать
59240
0
0

... жилеты, нагрудники, куртки). 6.  промеры глубин с моторных маломерных судов должны выполнятся только на малом ходу. 7.  натягивание каната (троса) через судоходную реку или канал для производства промерных и гидрометрических работ производится только с разрешения судоходного надзора, с которым этот вопрос должен быть предварительно согласован в письменной форме. 8.  оборудование для натяжения ...

Скачать
139337
24
25

... и с учетом возможно влияния хозяйственной деятельности. Табл. 1.1 Оптимальные пространственно-временные осреднения температуры воды для характеристики теплового состояния и термического режима рек Пространственные масштабы осреднения температуры воды Местная мгновенная температура Оптимальный интервал осреднения температуры 12 часов Сутки Декада месяц Сезон год Многолетний период ...

0 комментариев


Наверх