Приведение к нормальной форме Коши

1.1 Приведение к нормальной форме Коши

Нормальной формой Коши принято называть общую форму записи ОДУ, то есть представление в виде системы  дифференциальных уравнений первого порядка:

 (1)

ДУ второго порядка, заданное согласно варианту №3 имеет вид:

(2)

Задание предполагает нахождение решения  на интервале  при следующих начальных условиях:

 (3)

Для решения ДУ его просто необходимо представить согласно нормальной формы Коши. Для этого руководствуемся следующими обозначениями:

 (4)

В итоге имеется система ДУ первого порядка вида:

 (5)

Произведя все вышеописанные манипуляции над заданным в варианте уравнением, получим следующую систему:

 (6)

Система (6) есть решение уравнения (2).

1.2 Метод Рунге-Кутты второго порядка

В методах Рунге-Кутты интеграл заменяется линейной комбинацией значений подынтегральной функции, вычисленных при разных значениях аргумента:

 (7)

Метод Рунге-Кутты представим в виде:

(8)

Из вышеуказанных общих формул (8) получают формулы метода Рунге-Кутты 2-ого порядка m=2;

(9)

Для определения метода необходимо найти значения вещественных коэффициентов: . Для этого интеграл, заменяемый линейной комбинацией значений подынтегральной функции, вычисленных при разных значениях аргумента, можно представить как:

(10)

А его, в свою очередь, можно представить рядом Тейлора:

(11)

где - сумма элементов ряда Тейлора, степень которых не ниже 3.

Осталось найти неизвестные значения

(12)

В результате таких бесхитростных манипуляций получаем искомый ряд Тейлора:

(13)

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях  в выражениях

(11) и (13). В итоге получим систему уравнений вида:

(14)

Из свойств системы (14) следует отметить, что она не обладает единственным решением. При  значение , значение , а (15)

Подставив полученные коэффициенты в соотношение (8), получаем следующие формулы метода Рунге-Кутты 2-ого порядка:

  (16)

2 ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНЫХ МОДУЛЕЙ

Составленная в ходе курсовой работы программа вычисляет решения дифференциального уравнения, с предварительно заданными начальными условиями. Интегрирование происходит согласно двум методам: Рунге-Кутты второго и четвертого порядков.

Программа состоит из следующих модулей:

1)         Основная программа;

2)         Процедура вычисления точного решения ДУ;

3)         Процедура вычисления правых частей;

4)         Процедура выполняющая шаг интегрирования методом Рунге-Кутты 2-ого порядка;

5)         Процедура выполняющая шаг интегрирования методом Рунге-Кутты 4-ого порядка.