Математические и алгоритмические основы решения задачи

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

2.1 Описание метода

Пусть корень x уравнения отделен на отрезке [a, b], причем  и  непрерывны и сохраняют определенные знаки при . Если на некотором произвольном шаге n найдено приближенное значение корня

,

то можно уточнить это значение по методу Ньютона. Положим

, (1)

где  считаем малой величиной. Применяя формулу Тейлора, получим:

.

Следовательно,

.

Внеся эту поправку в формулу (1), найдем следующее (по порядку) приближение корня

. (2)

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой касательной, проведенной в некоторой точке кривой. В самом деле, положим для определенности, что  при  и  (рисунок 1).

Выберем, например, , для которого . Проведем касательную к кривой  в точке B₀ с координатами .

Рисунок 1. Геометрически показан метод Ньютона

В качестве первого приближения  корня x возьмем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ox. Через точку  снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой даст второе приближение корня x и т.д.

Формулу для уточнения корня можно получить из прямоугольного треугольника , образованного касательной, проведенной в точке B₀, осью абсцисс и перпендикуляром, восстановленным из точки .

Имеем

.

Так как угол a образован касательной и осью абсцисс, его тангенс численно равен величине производной, вычисленной в точке, соответствующей абсциссе точки касания, т.е.

.

Тогда

или для любого шага n

.

В качестве начальной точки  можно принять либо один из концов отрезка [a, b], либо точку внутри этого интервала. В первом случае рекомендуется выбирать ту границу, где выполняется условие

,

т.е. функция и ее вторая производная в точке  должны быть одного знака.

В качестве простейших условий окончания процедуры уточнения корня рекомендуется выполнение условия

.

Как следует из последнего неравенства, требуется при расчете запоминать три значения аргумента . В практических инженерных расчетах часто применяют сравнение аргументов на текущей и предыдущей итерациях:

.

При составлении программы решения уравнения методом Ньютона следует организовать многократный расчет приближений для корня x. Если удается получить аналитическое выражение для производной, то ее вычисление, а также вычисление можно оформить в виде функций.

Похожие работы

Экзаменационные билеты по информатике 2000/2001 учебный год

Скачать

177159

29

21

... в широкую практику разработки программ объектно-ориентированного программирования, впитавшего в себя идеи структурного и модульного программирования, структурное программирование стало фактом истории информатики. Билет № 9 Текстовый редактор, назначение и основные функции. Для работы с текстами на компьютере используются программные средства, называемые текстовыми редакторами или текстовыми ...