Задание №1

Какова вероятность того, что наудачу взятое натуральное число не делится:

а) ни на два, ни на три;

б) на два или на три?

Решение:

Пусть А – событие, что натуральное число делится на 2→ p(A)=1/2 (каждое второе натуральное число кратно 2)

В-событие, что натуральное число делится на 3

p(В)=1/3 (каждое третье натуральное число кратно 3)

а) С – событие, что наудачу взятое натуральное число не делится ни на два, ни на три

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей

Тогда вероятность события С:

 

Т.е. пять из шести натуральных чисел не делится ни на 2 ни на 3

б) D – событие, что наудачу взятое натуральное число не делится на 2 или на 3 .

Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий

Тогда вероятность события D:

.

Т.е. одно из трех натуральных чисел не делится на 2 или на 3

  Задание №2

В ружейной пирамиде имеются винтовки двух систем: одна винтовка типа 1 и две винтовки типа 2. Вероятность попасть в мишень при выстреле из винтовки типа 1 равна р1, из винтовки типа 2 – р2.

Стрелок производит 7 выстрелов из наудачу взятой винтовки. Чему равна вероятность того, что мишень окажется поражённой не менее пяти раз?

Решение:

А – событие, что поражена мишень

Пусть событие Н1 – винтовка I типа; событие Н2 – винтовка II типа.

 и

А/Н1 – мишень поражена при выстреле из винтовки I типа

А/Н2 – мишень поражена при выстреле из винтовки II типа

Для нахождения вероятности применяют формулу

 


2. Рn(k) – вероятность, что в n испытаниях событие наступит k раз находится по формуле Бернулли .

Вероятность события, что мишень окажется поражённой не менее пяти раз, если произведено 7 выстрелов из наудачу взятой винтовки.

Задание №3

При измерении урожайности картофеля вес клубней в одном кусте распределился по интервалам следующим образом:

Х(кг) 2,5–2,7 2,7–2,9 2,9–3,1 3,1–3,3 3,3–3,5 3,5–3,7 3,7–4,3
К-во кустов 50 150 200 250 150 100 100

Построить гистограмму и найти средний вес одного куста.

 

Решение:

Гистограмма – служит для изображения интервальных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака , и высотами, равными частотам интервалов.


Для расчета среднего веса одного куста воспользуемся формулой средней арифметической.

Средней арифметической дискретного вариационного ряда называется отношение суммы произведений вариантов на соответствующие частоты к объему совокупности:

где - варианты дискретного ряда или середины интервалов вариационного ряда, - соответствующие им частоты.

Для каждого интервала найдем середины по формуле .

Х(кг) 2,5–2,7 2,7–2,9 2,9–3,1 3,1–3,3 3,3–3,5 3,5–3,7 3,7–4,3

2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 4
К-во кустов 50 150 200 250 150 100 100

 

Ответ: средний вес одного куста составляет 3,22 кг.

Задание №4

По следующим данным построить интервальный вариационный ряд и гистограмму: 24, 14, 15, 26, 16, 17, 14, 15, 1, 11, 14, 12, 16, 17, 13, 10, 11, 12, 13, 15, 14, 10, 11, 14, 7, 15, 14, 15, 15, 14, 15, 14, 2, 5, 18, 19, 16, 17, 9, 10, 18, 19, 20, 22, 28.

Найти среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение.

 

Решение:

1. Проранжируем[1] исходный ряд, подсчитаем частоту вариантов. Получим вариационный ряд

2. Для определения числа групп воспользуемся формулой Стерджесса:

n = 1+3,322 * lgN

где n – число групп, N =45 – число единиц совокупности

Для данных задачи n = 1 + 3,322*lg 45 = 1 + 3,322 * 1,65 = 6б49 » 6 групп

Величина интервала представляет собой разность между максимальным и минимальным значением признака в каждой группе.

3. Выполним промежуточные вычисления во вспомогательной таблице и определим значения числовых характеристик:

Середины интервалов

Средняя арифметическая  где - варианты дискретного ряда или середины интервалов вариационного ряда, - соответствующие им частоты.

Дисперсия .

Среднее квадратическое отклонение .

 

Значения

№ группы Интервалы Частота
1

1

нач

кон

2

2

1 1,0 5,5

3

3

5

2 5,5 10,0

5

4

7

3 10,0 14,5

15

5

9

4 14,5 19,0

17

6

10

5 19,0 23,5

2

7

10

6 23,5 28,0

3

8

10

9

11

10

11

11

11

12

12

13

12

14

13

15

13

16

14

17

14

18

14

19

14

20

14

21

14

22

14

23

14

24

15

25

15

26

15

27

15

28

15

29

15

30

15

31

16

32

16

33

16

34

17

35

17

36

17

37

18

38

18

39

19

40

19

41

20

42

22

x min

1

43

24

x max

28

44

26

h

4,5

45

28

№ группы Интервалы Частота

Промежуточные вычисления

нач

кон

сер

ni

xcp*ni

(x-Xcp)

(x-Xcp)2

ni*(x-Xcp)2

1 1,0 5,5 3,25

3

9,75 -10,9 118,81 356,43
2 5,5 10,0 7,75

5

38,75 -6,4 40,96 204,80
3 10,0 14,5 12,25

15

183,75 -1,9 3,61 54,15
4 14,5 19,0 16,75

17

284,75 2,6 6,76 114,92
5 19,0 23,5 21,25

2

42,50 7,1 50,41 100,82
6 23,5 28,0 25,75

3

77,25 11,6 134,56 403,68

45 636,75

1234,80

14,15

S2

27,44

5,24

Среднее значение

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

 

Ответ: , ,

Задание №5

Некоторая случайная величина подчиняется закону нормального распределения с математическим ожиданием 50 и дисперсией 36. Найти вероятность того, что отдельное значение случайной величины заключено в интервале от 40 до 60.

 


Решение:

Пусть X – случайная величина подчиняется закону нормального распределения

По условию и

Найти:

Для нормального распределения СВ X

где Ф(Х) – функция Лапласа, дифференциальная функция нормального закона имеет вид .

Значения Ф(Х) – табулированы

 

Ответ:

Задание №6

Определить вероятность того, что истинное значение расстояния отличается от среднего (1000 м), полученного в 100 опытах, не более, чем на 5 м, если стандартное отклонение 25 м.

Решение:

Пусть X – случайная величина расстояния, м

По условию

Найти:

 

Ответ:

Задание №7

При измерении дальности расстояния дальномеры дали различные показания так, что среднее расстояние оказалось 1000 м с выборочной дисперсией 36 м2. В каких пределах находится истинное расстояние с вероятностью 80%, если произведено 11 измерений.

Решение:

По условию задана выборка объемом  и дисперсия нормально распределенной СВ X 36. Найдено выборочное среднее . Требуется найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания , если доверительная вероятность должна быть равна

1. Доверительный интервал имеет общий вид

2. По условию  

 находим из решения уравнения

 →  →

используя таблицу значений функции Лапласа


Информация о работе «Расчет вероятностей событий»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 13830
Количество таблиц: 13
Количество изображений: 2

Похожие работы

Скачать
16283
0
0

... Ek и являются множеством исходов нашего опыта, следовательно, n = 20. Из них 12 благоприятствуют интересующему нас событию B, следовательно, m = 12. Следовательно Это значит, что с вероятностью 0,6 (60%) мы вытащим белый шар. В Теории существует такое понятие, как независимость событий. У каждого из нас есть интуитивное представление о независимости событий. Так, например, мы понимаем, что, если ...

Скачать
28943
3
0

... число, то вероятностью события Е считается отношение числа исходов благоприятствующих этому событию к общему числу единственновозможных равновозможных исходов. Множество возможных исходов в теории вероятности называется пространством элементарных событий. Пространство элементарных событий всегда можно описать числом nS=2, nS=6. Если обозначить число исходов благоприятствующих событию n(E), ...

Скачать
71448
6
0

... Страхование жизни обуславливает ряд особенностей, которые влияют на выбор форм и методов анализа подготовки и проведения страховых операций. Можно выделить основные факторы, которые влияют на методику расчета тарифных ставок по страхованию жизни: 1.    Объектом договора по данному виду страхования является жизнь, здоровье и трудоспособность граждан. Количественные показатели, характеризующие ...

Скачать
399664
0
0

... исключительно сложна и требует перекрестных проверок дат разными методами. Эта программа реализована автором в следующей форме. 1) Разработаны новые экспериментально-статистические методики датирования древних событий (краткое изложение см. в статьях [374]-[377], а подробное - в книге [416]). 2) Их эффективность экспериментально проверена на достаточно большом материале средневековой ...

0 комментариев


Наверх