Министерство образования и науки Украины

Донецкий государственный институт искусственного интеллекта

Донецкий лицей «Интеллект»

Кафедра математики и информатики

Научная работа

на тему: «Применение неравенств при решении олимпиадных задач».

( электронный учебник )

Выполнила:

ученица 11-Г класса

Борисенкова О.Д.

Научный руководитель:

Степанов Т.Л.

Донецк 2006


СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1 Постановка задачи

2 Актуальность

3 Реализация задачи

3.1 Теоретические сведения

3.2 Решение задач с применением данных неравенств

3.3 Сборник задач

3.4 Тесты

4 Инструкция по пользованию

Выводы

Список использованной литературы


ВВЕДЕНИЕ

При решении задач, предлагаемых на вступительных письменных экзаменах и олимпиадах по математике, могут быть использованы любые известные абитуриентам математические методы. При этом разрешается пользоваться и такими, которые не изучаются в общеобразовательной школе.

Все это свидетельствует о необходимости самостоятельного изучения абитуриентами математических методов, в основе которых лежат понятия и положения, не входящие в программу по математике общеобразовательной школы. К таким понятиям, например, относятся неравенства Коши, Коши-Буняковского, Бернулли и Йенсена.


1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Таким образом, целью данной работы является разработка электронного обучающего пособия, в котором будет предложен материал по выбранной теме. Т.е. в учебнике будут предоставлены теоретические сведения по всем неравенствам, примеры применения этих неравенств в решении олимпиадных задач, сборник задач для самостоятельного решения, решения к ним, а также тестовые вопросы, которые позволят оценить себя и проверить уровень полученных знаний.

Для реализации поставленной задачи был выбран язык электронной разметки текста HTML.


2. АКТУАЛЬНОСТЬ

Данная разработка рассчитана на учащихся, которые имеют довольно-таки высокий уровень знаний в области математики, причем как в пределах, так и вне школьной программы, но все равно хотят его повысить. Т.е. этот учебник будет очень полезным для самостоятельного изучения темы и подготовки к олимпиадам ІІ-ІІІ этапов.

Также очень удобен и прост в применении, для работы с ним не требуется никаких специальных программ или дополнительных приложений, кроме стандартного Internet-браузера.

Важным пунктом является то, что в учебнике собрана информация по теме неравенств, которую в принципе довольно-таки сложно найти, причем так, чтобы она была в одном и том же печатном издании. Большая часть сведений по некоторым неравенствам была найдена только в периодических изданиях, журналах. Здесь же все собрано воедино, информация представлена кратко, но исчерпывающе для того, чтобы разобраться и понять.


3. РЕАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ

3.1 Теоретические сведения

Неравенство Йенсена

Теорема (неравенство Йенсена):

Пусть  – функция, выпуклая на некотором интервале, x1, x 2, …, xn – произвольные числа из этого интервала, а α1, α2, …, αn – произвольные положительные числа, сумма которых равна единице. Тогда:

. (1)

Доказательство:

Рассмотрим на графике функции  точки А1, А2, …, Аn с абсциссами х1, x2, …, xn. Расположим в этих точках грузы с массами, m2, …, mn. Центр масс этих точек имеет координаты

.

Так как точки А1, А2, …, Аn принадлежат надграфику выпуклой функции, то и их центр масс также принадлежит надграфику (ибо надграфик – выпуклая фигура). А это означает, что ордината центра масс М не меньше ординаты точки на графике с той же абсциссой (рис. 1), т.е.

. (2)


рис. 1

Для завершения доказательства остаётся положить m1= α1, …, mn= αn.

Однако есть два важных замечания. Во-первых, в процессе доказательства неравенства Йенсена (1) мы доказали неравенство (2). На самом деле эти неравенства равносильны. Положив в неравенстве (1)  (i=1, 2, ..., n), мы получаем неравенство (2). Поэтому естественно эти два неравенства называются неравенствами Йенсена. Неравенство (1) выглядит более компактно, однако для приложений удобней пользоваться неравенством (2). Во-вторых, если функция  вогнутая, то для неё неравенства Йенсена (1) и (2) меняются на противоположные. Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть выпуклую функцию .

Неравенство Коши-Буняковского

На первый взгляд, неравенство Йенсена не производит особого впечатления: слишком общо выглядит формулировка. Однако дальше можно убедиться, что это впечатление обманчиво.

Продемонстрировать силу неравенства Йенсена можно на конкретном примере. А именно, доказать знаменитое неравенство Коши-Буняковского , где a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn – произвольные положительные числа.

Доказательство:

Как мы знаем, функция  - выпуклая. Напишем для этой функции неравенство Йенсена (2):

, (mi > 0).

Следовательно, . Положив , получим требуемое неравенство.

Неравенство Коши

При решении многих задач часто используется классическое неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическим неотрицательных чисел.

Пусть x1, x 2, …, xn – неотрицательные числа. Средним арифметическим этих чисел называется число –

.

Средним геометрическим чисел x1, x 2, …, xn называется число –

 

.

 

Теорема 1. Если x1, x 2, …, xn – неотрицательные числа, то имеет место неравенство

. (1)

Причём знак равенства в нем достигается тогда и только тогда, когда все числа равны.

Соотношение (1) называется неравенством Коши. При n=2 неравенство Коши следует из очевидного неравенства

. Действительно, , откуда

. (2)

Отметим, что знак равенства в (2) имеет место тогда и только тогда, когда x1=x2.

Пусть x1, x 2, …, xn – положительные числа. Средним гармоническим (средним пропорциональным) этих чисел называется число –

.

Теорема 2. Если x1, x 2, …, xn – положительные числа, то имеют место неравенства

An≥Gn≥ Hn.

Действительно, применяя к числам  неравенство Коши, получаем

 , (3)

откуда Gn ≥ Hn.

Пусть x1, x 2, …, xn – произвольные числа. Средним квадратическим этих чисел называется число –

.

Теорема 3. Если x1, x 2, …, xn – положительные числа, то имеют место неравенства

Kn ≥ An ≥ Gn ≥ Hn , или

. (4)

Причём знак равенства в (4) достигается тогда и только тогда, когда все числа равны.

Для двух чисел неравенство (4) можно записать как

,

которое очень легко доказать с помощью простых преобразований. А именно,

аналогично доказывается и для n чисел, откуда Kn ≥ An.

Неравенство Бернулли

Ещё один способ решения некоторых олимпиадных задач – это использование неравенства Бернулли, которое иногда может значительно облегчить задачу. «Классическое» неравенство Бернулли формируется следующим образом:

Теорема. Для x > -1 и произвольного натурального n имеет место

 (1)

причем равенство в (1) достигается при x=0, n=0 или n=1.

Однако кроме (1) существует и более общее неравенство Бернулли, которое содержит в себе два неравенства:

если n<0 или n>1, то

, (2)

если 0<n<1, то

, (3)

где x > -1.

Следует отметить, что равенства (2) и (3) имеют место лишь при x=0.

Доказательство(I способ):

, где xi – числа одного и того же знака и .

Применяем метод математической индукции.

Проверяем неравенство для n=1: . Неравенство верно.

Пусть неравенство верно для n членов, т.е. верно неравенство

.

Умножим его на неотрицательное число 1+xn+1 (оно неотрицательно, т.к. ). Получим:

.

Т.к. xi одного знака, произведения в правой части положительны, и если их отбросить, неравенство только усилится. Получаем:

.

Как мы видим, неравенство верно и для n+1 членов, а значит верно для любых n.

Доказательство(II способ):

Также применяем метод математической индукции.

При n=1 имеем , . Утверждаем, что при n=k неравенство верно: . Тогда при n=k+1 имеем

.

Неравенство доказано.

Весовое (общее) неравенство Коши

Ранее мы рассмотрели так называемое классическое неравенство Коши. Однако очень большое значение имеет также одно важное обобщение неравенства Коши – это общее, или весовое, неравенство Коши.

Теорема. Для любых действительных положительных чисел m1, m2, …, mn и для любых неотрицательных x1, x2, …, xn имеет место неравенство

. (1)

Числа m1, m2, …, mn называются весовыми коэффициентами.

Неравенство (1) выполняется и для неотрицательных весовых коэффициентов m1, m2, …, mn, но в этом случае необходимо требовать, чтобы знаменатель левой части (1) не превращался в ноль и выражения имели смысл (т.е. не все m1, m2, …, mn равны нулю и числа xi и mi одновременно не равнялись нулю).

Понятно, что при m1= m2= …= mn, весовое неравенство Коши превращается в обыкновенное неравенство Коши.

Выражение, которое стоит в левой части (1), называется весовым средним арифметическим, а то, которое в правой – весовым средним геометрическим.

Неравенство (1), для натуральных m1, m2, …, mn, непосредственно следует из обыкновенного неравенства Коши:

. (2)

Неравенство (1) с неотрицательными рациональными весовыми коэффициентами легко привести к случаю, когда .



Информация о работе «Применение неравенств при решении олимпиадных задач»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 15990
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 2

Похожие работы

Скачать
35798
0
3

... групп – в виде краткого отчета о проделанной работе (демонстрация рисунков, таблиц). Далее идет обсуждение выступлений; учитель продумывает со своими коллегами трудовое задание [1]. 1.1 Межпредметные связи при решении расчетных задач К изучению математики учащиеся средней школы приступают на 7 лет раньше, чем к изучению химии. За этот период обучения они приобретают значительный объем ...

Скачать
70384
2
19

... математики тригонометрической подстановки и проверка эффективности разработанной методики преподавания. Этапы работы: 1.  Разработка факультативного курса на тему: «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» с учащимися классов с углубленным изучением математики. 2.  Проведение разработанного факультативного курса. 3.  Проведение диагностирующей контрольной ...

Скачать
108488
2
0

... (распределение мест и оценка качества) занимается специальная программа, которая будет полностью описана в следующей главе. Глава 3. Автоматизированная система распределения мест и оценки уровня качества олимпиадных заданий. §1. Общее описание. Системные требования. Программа OLYMPS разработана для ускорения процесса распределения мест на олимпиадах разных ...

Скачать
54343
1
32

... функция является знакопостоянной. Вычисляя, например, , получаем, что функция принимает только положительные значения. Ответ. . Метод интервалов позволяет решать более сложные уравнения и неравенства с модулями, но в этом случае он имеет несколько иное назначение. Суть состоит в слудующем. Находим корни всех подмодульных выражений и разбиваем числовую ось на промежутки знакопостоянства этих ...

0 комментариев


Наверх