Теория вероятностей

1.    Независимо друг от друга 10 чел. Садятся в поезд, содержащий 15 вагонов.

Вероятность того, что все они поедут в разных вагонах?

Р= число близких иходов  = 15….14…….- 6 = 15 ! -2

Число элемент. исходов 15*15*15…15 5 !  » 1,88 * 1е

10 раз 50

15 _____________________________________

2. В электрической цепи последовательно включены 3 элемента, работающие

независимо друг от друга. Их вер-ть отказов равны 1  49  1 .

Найти вероятность того, что тока не будет? 50 ; 50 ;  4

 

-- - -

А –ток есть

Аi – i-й прибор не исправен

Р (А1) = 49 Р (А2)= 1  Р ( А3) = 3

50 ; 50 ; 4

_

Р (А)=1-Р(А) = 1-Р (А1 А2 А3 ) = 1-Р (А1) Р (А2)* Р (А3) = 1- 49 * 1- 3 = 9,753

50 50 4 10,000

____________________________________________________________________________________________

3. Вер-ть попадания хотя бы раз в мишень при 12-ти выстрелах равно 41 .

Найдите вер-ть попадания при одном выстреле? 50

Аi – успешный i – выстрел

_________

Р = 41 = 1-Р ( А1 …..А12) – не попали ни в одном случае из 12-и выстрелов =

50

__ __ _ 12 12

= 1 – Р (А1) …..Р (А12) = 1 – Р (А1) ; 41 = 1-Р (А1)

 50

Найти Р (А1)

_ 12

Р (А1) = 1- 41 = 9

50 50

_ 12__

Р (А1) = Ö 9

50

_ 12__

Р (А1) = 1-Р (А1) = 1 - Ö 9 » 0,133

50 ___________________________________________

4.    Имеются 28 билетов, на каждом из которых написано условие нескольких

задач. В 13 билетах задачи по статистике, а в остальных 15 – задачи по теории

вероятности. 3 студента выбирают на удачу по одному билету. Найти вероятность

того, что хотя бы одному из студентов не достанется задача по теории вероятности.

Аi –студенту достанется задача по теории вероятности

А – всем достанется задача по теор. вероят.

А = А1 А2 А3

А – хотя бы одному не достанется задача по теор.вероят.

_

Р (А) = 1 – Р(А) = 1- Р (А1 А2 А3) = 1 – Р *(А3) * Р (А1 А2) = 1-Р *(А3) * Р *

А1А2 А1А2 А1

 *(А2)*Р (А1)= 1 – 15 * 14 * 13 = 0,265

28 27 26

 

5.    В ящике содержится 6 деталей, изготовленных на 1-м заводе, 2 детали на 2-м заводе

и 4 детали на 3-м заводе. Вероятность брака на заводах равна 19 , 19 и 59

20 50 100

Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь будет качественная.

Н1 – деталь с 1-го завода

Н2 - деталь со 2-го завода

Н3 - деталь с 3-го завода.

Р(Н1) = 6 = 1 ; Р(Н2) = 2 = 1 ; Р(Н3) = 4 = 1

12 2 12 6 12 3

А - извлеченная деталь качественная

_ _ _ _

Р (А) = Р *(А) * Р (Н1) + Р *(А) * Р (Н2) + Р *(А)*Р (Н3) =19 * 1 + 19 * 1 + 59 *1=147=>

Н1 _ Н2 Н3 20 2 50 6 100 3 200

Р (А) = 1 – Р (А) = 53/200

__________________________________________________________________________________________

6.    Независимые вероятные величины Х,У представляют только целые значения

Х: от 1 до 16 с вер-ю 1

16

У: от 1 до 23 с вер-ю 1

23

Р ( Х+У = 32)

Х У Р (Х=9; Х =23) = P (Х=9) * Р (У = 23) = 1 * 1

9 23 16 23

10 22  

 P ( X+y=32 )=P ( X=8, y=23 ) + P ( X=10; y=12 )+…+P ( y=16,X=16 )=

16 16 = 8* 1 * 1 = 1

16   23 46

_________________________________________________________________________________________

7.    Независимые случайные величины Х , У принимает только целые значения.

Х: от 1 до 14 с вероятностью 1

14

У: от 1 до 7 с вероятностью 1

7

Найти вероятность того, что Р (Х £ У)

Если У = 7, то 1 £ Х £ 6 1  * 6

7      14

Если У = 6 то 1£ Х £ 5 1  * 5

7 14

Если У = 5 то 1£ Х £ 4  1  * 4

7      14

Если У = 4 то 1£ Х £ 3  1  * 3

7       14

Если У = 3 то 1£ Х £ 2  1  * 2

7       14

Если У = 2 то 1 = Х 1 * 1

7 14

Р (Х<У) = 1 * 6 + 1 * 5 + 1 * 1 = 1+2+3+4+5+6 = 21 = 3

7 14 7 14 7 4 7 * 14 714 14

_________________________________________________________________________________________

8.    Независимые величины Х1……Х7 принимают только целые значения от

 0 до 10 с вероятностью 1

11

Найти вероятность того , что Р(Х1…….Х7) = 0

Р (Х1……Х7 =0) = 1-Р (Х1….Х7 ¹ 0) = 1- Р( Х1¹0….Х7 ¹ )=1-Р( Х1¹0 )*Р (Х2¹0)

7

*….* Р(Х7¹0) = 1 – 10 * 10 = 1 - 10

11……. 11  11

 7 раз

9.    Независимые случайные величины Х, У, Z принимают целые значения

Х: от 1 до 13 с вероятн-ю 1

13  

У: от 1 до 12 _____/_____ 1

12

Z от 1 до 9 _____/_____ 1

 9

Вероятность того, что Х;У;Z. примут разные значения?

Пусть “Z” приняло какое-то значение “а”. Р (У¹а) = 11

12

Пусть при этом У= в

Р (Z ¹ a; Z ¹ в) = 11 ; Р = 11 * 11

13 12 13.

_______________________________________________________________________________________

10.

Х	1	4	7
Р	0,1	0,4	0,5

м = М (Х) - ? М (Х) = 0,1+1,6+3,5 = 5,2

Р ( Х < м) - ? Р ( Х < 5,2) = Р(Х=1) + Р(Х=4) = 0,5

___________________________________________________________________________________________

11.

Х	2	3	5
Р	0,2	0,3	0,5

2 Х	4	9	25
Р	0,2	0,3	0,5

Д (Х) - ?

М(Х) = 0,4+0,9+2,5=3,8

2

М (Х ) = 0,8+2,7+12,5 = 16

2 2 2

Д (Х) = М (Х ) – М (Х) = 16 - 3,8 = 1,56

______________________________________________________________________________________________________________

12. Независимые величины Х1,…….,Х9 принимают целое значение – 8, - 7,…..,5,6

с вероятностью 1

15 9

Найти М (Х1,Х2,…..,Х9) * М (Х2,….,Х9) = М (Х1) * М(Х2)*….* М(Х9) =М (Х9)

М (Х1) = -8 * 1  – 7 * 1 * 6 * 1 - … + 5 * 1 + 6 * 1 = 1 (-8-7-5….+5+6) = -1

15 15 15 15 15 15

9 9

= М (Х1) = ( -1) = -1

13.

Х	8	10	12	14	16
Р	0,25	0,2	0,2	0,2	0,25

м= М (Х)-? М (Х) = 2 + 2 + 1,2 + 2,8 + 4 = 12

д(Х) -? 2 2

Р ( (Х-м) < d) Д (Х) = М (Х – М (Х) ) = М (Х-12)

Х-12	-4	-2	0	2	4
Р	0,25	0,2	0,1	0,2	0,25

2 (Х-12)	1	4	0
Р	0,5	0,4	0,1

2

М (Х-Р) = 8+1,6

_____

d (Х) = Ö d (Х) » 3,1

Р ( Х –12 < 3,1 ) = Р (-3,1<Х –12 < 3,1) = Р (8,9<Х<15,1) =

= Р (Х=10) + Р (Х=12) + Р (Х=14) = 0,5

___________________________________________________________________________________________________________