Случайные вектора

Случайные вектора

 

Оглавление

 

Функция распределения вероятностей двух случайных величин.. 2

Совместная плотность распределения вероятности двух случайных величин 4

Условная функция распределения вероятностей.. 7

Условная плотность вероятности.. 7

Числовые характеристики двумерного случайного вектора. 8

Верхняя и нижняя границы корреляции и ковариации.. 10

Ковариация и независимость двух случайных величин.. 11

Ковариация и геометрия линий равного уровня плотности вероятности 13

Коэффициент корреляции.. 15

Коэффициент корреляции и расстояние. 17

Функция распределения вероятностей случайного вектора. 18

Плотность вероятности случайного вектора. 19

Многомерное нормальное распределение. 21

Характеристическая функция случайного вектора. 22

Функции от случайных величин.. 23

Распределение вероятностей функции одной случайной величины.. 24

Преобразование нескольких случайных величин.. 28

Хи - квадрат распределение вероятностей.. 30

Хи - квадрат распределение и распределение Максвелла по скоростям.. 33

Литература. 35

Функция распределения вероятностей двух случайных величин

В задачах со случайным исходом обычно приходится учитывать взаимодействие нескольких случайных величин. Это естественным образом приводит к понятию многомерных (векторных) случайных величин или совокупности нескольких случайных величин. Случайный вектор является третьим основным объектом изучения теории вероятностей (после случайного события и случайной величины). Целесообразно начать изучение случайных векторов с рассмотрения двухмерных векторов, свойства которых сравнительно простые и наглядные.

Совместной функцией распределения вероятностей (или двумерной функцией распределения вероятностей) случайных величин ,  (или случайного вектора ) называется функция

. (50.1)

Следует иметь в виду, что  - вероятность события  - пересечения двух событий:  и . В записях вида (50.1) принято вместо символа  использовать запятую.

50.1. Рассмотрим основные свойства функции , следующие из ее определения.

1). , где  - функция распределения вероятностей случайной величины . Действительно,  - достоверное событие, поэтому . Аналогично , где  - функция распределения вероятностей случайной величины .

2). , поскольку события ,  - достоверные, следовательно их пересечение – достоверное событие и .

3). , поскольку событие  - невозможное и . Аналогично .

4).  - неубывающая функция аргумента , а также неубывающая функция аргумента .

5).  непрерывна справа по каждому аргументу.

50.2. Рассмотрим геометрическую интерпретацию функции . Пусть случайные величины ,  являются компонентами случайного вектора . Тогда результат каждого опыта по измерению случайного вектора  можно рассматривать как точку на плоскости, а функция  определяет вероятность попадания точки в часть плоскости: , выделенной на рис. 50.1 штриховкой.

Рис. 50.1. Геометрическая интерпретация функции .

Представим вероятность  - попадания случайного вектора  в прямоугольник , , , , рис 50.2, через функцию . Несложно определить, что

Рис. 50.2. К вычислению вероятности попадания в прямоугольник.

(50.2)

Пусть ,  - малые величины и функция  имеет первые производные по  и , а также вторую смешанную производную, тогда из (50.2) следует:

. (50.3)

Отсюда:

 . (50.4)

Совместная плотность распределения вероятности двух случайных величин

Пусть у функции  существуют производные по , , а также вторая смешанная производная. Совместной (или двумерной) плотностью распределения вероятностей случайных величин  и  называется функция

(51.1)

Рассмотрим основные свойства двумерной плотности вероятности.

1. Справедливо соотношение:

. (51.2)

Для доказательства используем равенство (51.1), тогда:

. (51.3)

Теперь из равенства (50.2) следует (51.2). Это соотношение имеет практическое значение, поскольку позволяет вычислять вероятность  - попадания двумерного вектора  в прямоугольник, определяемый отрезками  и  через плотность вероятности .

2. Рассмотрим частный случай соотношения (51.2). Пусть , , , , тогда (51.2) принимает вид:

. (51.4)

Это соотношение определяет функцию распределения вероятностей  через плотность вероятности  и является обратным по отношению к равенству (51.1).

3. Рассмотрим (51.2) при условиях: , , , , тогда из (51.2) следует равенство:

, (51.5)

поскольку  - как вероятность достоверного события. Соотношение (51.5) называется условием нормировки для плотности вероятности .

4. Если  - плотность вероятности вектора , и  - плотность вероятности случайной величины , то

 . (51.6)

Это равенство называется свойством согласованности плотности второго порядка  и плотности первого порядка . Если известна плотность второго порядка , то по формуле (51.6) можно вычислить плотность вероятности  - случайной величины . Аналогично,

 . (51.7)

Доказательство (51.6) получим на основе равенства

. (51.8)

Представим  через плотность  согласно (51.4), а  через , тогда из (51.8) следует

 . (51.9)

Дифференцирование (51.9) по  приводит к равенству (51.6), что и завершает доказательство.

5. Случайные величины  и  называются независимыми, если независимы случайные события  и  при любых числах  и . Для независимых случайных величин  и :

 . (51.10)

Доказательство следует из определений функций  и , . Поскольку  и  - независимые случайные величины, то события вида:  и  - независимые для любых  и . Поэтому

(51.11)

- справедливо равенство (51.10). Продифференцируем (51.10) по  и , тогда согласно (51.1) получаем следствие для плотностей:

. (51.12)

6. Пусть  - произвольная область на плоскости , тогда

(51.13)

- вероятность того, что вектор  принимает любые значения из области  определяется интегралом по  от плотности вероятности .

Рассмотрим пример случайного вектора  с равномерным распределением вероятностей, который имеет плотность вероятности  на прямоугольнике  и  - вне этого прямоугольника. Числоопределяется из условия нормировки:

 .

Условная функция распределения вероятностей

Пусть случайные величины  и  имеют плотности вероятности  и  соответственно и совместную плотность . Рассмотрим равенство:

. (52.1)

Отсюда

(52.2)

Функция

(52.3)

называется условной функцией распределения вероятностей случайной величины  при условии, что случайная величина  принимает значение  .

Подставим (52.2) в (52.3), тогда

. (52.4)

Представим вероятности в (52.4) через плотности вероятностей, тогда

 (52.5)

Это соотношение определяет условную функцию  через плотности  и . Отметим, что для независимых случайных величин  и  совместная плотность . При этом, как следует из (52.5), условная функция  - не зависит от аргумента  (т.е. не зависит от событий вида .

Аналогично (52.3) можно определить функцию  случайной величины  при условии, что , и затем получить выражение аналогичное (52.5)

 . (52.6)

Условная плотность вероятности

Условной плотностью распределения вероятностей случайной величины  при условии  называется функция:

 . (53.1)

Соотношение (52.5) подставим в (53.1), тогда

 . (53.2)

Отсюда следует

. (53.3)

- формула умножения для плотностей. Эта формула аналогична формуле умножения вероятностей. Очевидно,

. (53.4)

Данное равенство является аналогом формулы полной вероятности.

Аналогично (53.1) вводится условная плотность распределения вероятности случайной величины  при условии  как функция вида:

. (53.5)

Отсюда и из (52.6) следуют соотношения:

 , (53.6)

. (53.7)

В (53.6) подставим (53.3) и (53.4), тогда:

 . (53.8)

Это соотношение аналогично формуле Байеса. Здесь случайные величины  и  можно поменять местами, тогда получим также верное соотношение для условной плотности , которая определяется через функции  и .

Числовые характеристики двумерного случайного вектора

54.1. Пусть случайные величины  и  имеют совместную плотность вероятности  и  - функция двух переменных. Тогда  - случайная величина, полученная подстановкой случайных величин  и  вместо аргументов  и .

Математическим ожиданием случайной величины  называется число

 . (54.1)

Если , , тогда из (54.1) следует

, ,  . (54.2)

Числа  называются начальными смешанными моментами порядка  случайных величин  и . Эти числа применяются в качестве статистических характеристик двумерного случайного вектора. Рассмотрим частные случаи (54.2). 1). , тогда  - начальный момент порядка  случайной величины . При дополнительном условии  получаем  - математическое ожидание случайной величины , при  -  - среднее ее квадрата и т.д. Таким образом, при  смешанные моменты (54.2) совпадают с начальными моментами случайной величины . 2). Если положить , тогда  - смешанные моменты совпадают с начальными моментами случайной величины . В обоих случаях получаем индивидуальные характеристики одной из случайных величин. 3). Для получения групповой характеристики (54.2), отражающей свойства совокупности двух случайных величин, необходимо рассмотреть ненулевые . Наиболее простой вариант: , . При этом из (54.2) следует

. (54.3)

Число  называется корреляцией случайных величин  и  и представляет собой важнейшую характеристику совокупности двух случайных величин.

Если  и  - независимы, то  и (54.3) преобразуются следующим образом:

, (54.4)

где  и . При этом  выражается через индивидуальные характеристики  и , т.е. каких-либо групповых эффектов в  не проявляется, что является следствием независимости случайных величин  и . Из цепочки преобразований (54.4) следует равенство  - математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.