Предисловие

В данной работе рассмотрен метод комплексных чисел в планиметрии, применение его критериев в задачах элементарного характера на темы – «Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность», «Углы и площади», «Многоугольники», «Прямая и окружность».

Метод комплексных чисел в иностранной литературе используется достаточно широко. Однако в отечественной литературе этот метод не получил широкого распространения. Имеются отдельные фрагменты в книге З. А. Скопеца. Систематическое изложение этого метода дано в книге Я. П. Понарина «Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах». Нами выбраны и решены на наш взгляд наиболее интересные задачи, выполняемые этим методом.

Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи прямым вычислением по готовым формулам. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условием задачи и её требованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с векторным и координатным методами, методом геометрических преобразований, конструктивно-синтетическим методом, требующими от решающего порой немалой сообразительности и длительных поисков, хотя при этом готовое решение может быть коротким.


 

§ 1 Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность.

1.1. Коллинеарность векторов.

(1.2)

1.2. Коллинеарность трёх точек.

(1.3)

Это – критерий принадлежности точек А, В, С одной прямой.

(1.5)

определяет прямую, содержащую хорду АВ единичной окружности.

1.3. Перпендикулярность отрезков (векторов).

  (1.7)

Уравнение касательной

(1.8)

(1.9)

З а д а ч а 1. Доказать, что точки пересечения прямых, содержащих стороны треугольника, с касательными к описанной окружности в противоположных им вершинах коллинеарны.

  § 2 Углы и площади

2.1. Угол между векторами.

(2.1)

(2.2)

 

2.2. Площадь треугольника

(2.3)

З а д а ч а 2. Основание D высоты CD треугольника ABC делит сторону AB в отношении 3:1. Угол ACD вдвое больше угла BCD. Вычислить углы треугольника ABC.

 

§ 3 Многоугольники

3.1. Подобные треугольники.

(3.1)

где  – комплексное число,  – коэффициент подобия.

(3.2)

где  – комплексное число,  – коэффициент подобия.

Если , то треугольники  и  равны. Тогда соотношение (3.1) – признак равенства одинаково ориентированных треугольников, а соотношение (3.2) – признак равенства противоположно ориентированных треугольников.

3.2. Критерий правильного треугольника.

Треугольник ориентирован положительно:

(3.4)

Треугольник ориентирован отрицательно:

(3.5)


Информация о работе «Метод комплексных чисел в планиметрии»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 6314
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 13

Похожие работы

Скачать
35457
0
0

... 1. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD. (Рис.1)Доказать, что |AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2 = |AC|2+|BD|2+4|MN|2.Решение. Пусть точкам A, В, С, D, М, N соответствуют комплексные числа а, b, с, d, т, п.Так как m = и n = , то |AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2 |AC|2+|BD|2+4|MN|2 .Равенство доказано.Задача 2. Доказать, что если в плоскости параллелограмма ABCD существует такая точка М, ...

Скачать
58334
4
7

... , поскольку точки М и М’ входят в формулу  равноправно, а для центра инверсии и бесконечно удаленной области все очевидно. 1.3. Формула инверсии в комплексно сопряженных координатах. Найдем формулу обобщенной инверсии при задании точек комплексными числами. Пусть точкам S, M и М’ соответствуют комплексные числа s, z и z’. По формуле скалярного произведения векторов . Коллинеарность точек S, M и ...

Скачать
34332
5
12

... . Частные случаи тригонометрических уравнений   Определение. Уравнения вада sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a, где x - переменная, aR, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.   Тригонометрические уравнения   Аксиомы стереометрии и следствия из них Основные фигуры в пространстве: точки, прямые и плоскости. Основные свойства точек, прямых ...

Скачать
83137
3
3

... того материала, который имеется в учебнике, так организовать работу с детьми, чтобы она способствовала развитию пространственного мышления. Глава II. Методика формирования пространственного мышления учащихся основной школы при изучении векторного пространства   2.1 Методические аспекты развития пространственного мышления как элемента образного Рассмотрим, какие подходы предлагают для ...

0 комментариев


Наверх