Математические уравнения и функции

Варивант №2

 

Задание 1

Дан треугольник ABC, где А(-3,2), В(3,-1), С(0,3). Найти:

1.         Длину стороны АВ;

2.         Внутренний угол А с точностью до градуса;

3.         Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;

4.         Точку пересечения высот;

5.         Уравнение медианы, опущенной из вершины С;

6.         Систему неравенств, определяющих треугольник АВС;

7.         Сделать чертеж;

Решение:

1.         Найдем координаты вектора АВ:

Длина стороны АВ равна:

2.         Угол А будем искать как угол между векторами АВ и АС(-3,1)

Тогда

3.         Прямая СК перпендикулярна АВ проходит через точку С(0,3) и имеет нормалью вектор .

По формуле получим уравнение высоты:

Сокращаем на 3 получим уравнение высоты:

4.         Координаты основания медианы будут:

;

Уравнение медианы найдем, пользуясь данной формулой, как уранение прямой, проходящей через 2 точки: С и М

Так как знаменатель левой части равен нулю, то уравнение медианы будет иметь такой вид х=0

5.         Известно что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено, выведем аналогично высоту BD проходящую через точку В перпендикулярно вектору

Координаты точки Р найдем как решение системы уравнений:

х=11 у=23

6.         Длину высоты hc будем ее искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет направляющий вектор .

Теперь воспользовавшись формулой

Подставляя в нее координаты точки С(0,3)

Задание 2

Даны векторы Доказать, что образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора «в» в этом базисе.

Решение:

1.         Докажем, что подсистема линейно независима:

Из четвертого уравнения имеем , что , тогда из первого, второго и третьего следует, что . Линейная независимость доказана.

Докажем, что векторы можно представить в виде линейных комбинации векторов .

Очевидно,

Найдем представление  через .

Из четвертого уравнения находим и подставляем в первые три

Получили , что данная система векторов не может называться базисом!

Задание 3

Найти производные функций:

Задание 4.

Исследовать функцию и построить ее график

1.         Область определения:

, то есть

2. Кривая  имеет вертикальную ассимптоту х=-1, так как

Находим наклонные асимптоты. а то означает, что есть вертикальная асимптота у=0.

3.         Функция общего вида, так как  и