Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил

«Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил»

Задание: На наклонном участке АВ трубы на груз D, массой m действуют сила тяжести и сила сопротивления R, расстояние от точки А, где V=V₀, до точки В, равно L. На горизонтальном участке ВС на груз действует сила тяжести и переменная сила F = F(t).

Дано:

m = 4, кг

V₀ = 12, м/с

Q = 12, Н

R = 0,8V², Н

L = 2.5, м

F_x = -8cos(4t), Н

Определить:

Закон движения груза на участке ВС ( x = f(t) ).

Решение:

1. Пусть груз – материальная точка. Изобразим  и . Проведем ось Ax и составим дифференциальное уравнение в проекции на эту ось:

Далее находим:

Учитывая, что V_x = V:

 или

Выведем:

где g = 10 м/с.

Тогда:

Разделяя переменные и интегрируя:

По Н.У. при x = 0: V = V₀, откуда:

;

Получим:

;

Откуда:

и

В результате:

Полагая, что x=L=2.5 и заменяя k и n определим V_B:

2. Рассмотрим движение на BC.

Рассмотрим движение ВС (V₀ = V). Изобразим , , и .

 или , где

При t=0; V = V₀ = V_B = 8.29 м/с:

С₂ = V_B = 8.29 м/с.

К-3 Вариант 18

а^вр

А

a_A C_v

а^вр

a_c

а^цс

E_oaa^цсC

a_B

W_oa

a_B  О В

Y

 a_B

X

Дано: ОА=10 АВ=10 АС=5 W_oa=2 E_OA=6

Найти: Ускорения во всех точках

Va=Woa*OA=20

Va=Wao*Acv=Wab*AB*sin45

Wab=Va/Cva=4/2^1/2

Vb=Wab*BCv=Wab*AB*cos45=20

Vc=Wab*CCv=2^1/22*BC/2ctg45=52^1/2/2

a_A^bp= E_oa*OA=60

a_A^цс=W_OA²*OA=40

a_B^цс= W_OA²*AB=80

a_B= a_A^bp +a_A^цс +a_AB^ЦС +a_AB^bp

X: 2^1/2/2*a_B= a_A^цс +a_AB^BP

Y: 2^1/2/2*a_B= a_A^BP +a_AB^ЦС

a_AB^BP =========== ==MOI===\KOI0-U=140-40=100

E_AB=100/10=10

a_B= a_A^вp +a_A^цс +a_AC^ЦС +a_AC^вp

a_AC^вp = E_AB*АВ=50

a_AC^ЦС= W_AВ²*АС=40

X: 2^1/2/2*a_c= a_A^цс +a_AB^BP

Y: 2^1/2/2*ac₌ a_A^BP +a_AB^ЦС

a_C=( a_cx² +a_cy²)^1/2

 

«Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения».

Задание: По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и

для момента времени t = t1 (c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а так же радиус кривизны траектории.

Исходные данные:

Решение:

Для нахождения траектории точки, возведем в квадрат и приравняем левые части уравнений движения, предварительно выделив из них cos и sin соответственно, в результате получим:

- траектория точки в координатной форме.

Траектория представляет из себя окружность радиуса r=3 см.

Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:

По найденным проекциям определяются модуль скорости и модуль ускорения точки:

Найдем модуль касательного ускорения точки по формуле:

-выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при означает, что движение точки ускоренное, направления и совпадают, знак «-» значит, что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки: ; Т.к. радиус кривизны известен, но в качестве проверки применим другую формулу для нахождения модуля нормального ускорения:

Когда найдено нормальное ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

Результаты вычислений занесем в таблицу (для момента времени t = t₁ = 1 c):

Координаты (см)		Скорость (см/с)			Ускорение (см/с2)					кривизны (см)
x	y	Vx	Vy	V	Wx	Wy	W	Wτ	Wn
2.5	5.6	-5.4	3.2	6.3	-12	-8.3	14.6	5.5	13.5	2.922

Найденный радиус кривизны совпадает с определенным из уравнения траектории точки.

На рисунке показано положение точки М в заданный момент времени

Дополнительное задание. Определение скорости и ускорения точки при ее движении по пространственной траектории. Для этого к двум уравнениям движения добавляется 3-е уравнение.

Исходные данные:

Решение:

Определим пространственную траекторию точки в координатной форме:

 - траектория точки в координатной форме.

Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:

По найденным проекциям определяются модуль скорости и модуль ускорения точки:

Найдем модуль касательного ускорения точки по формуле:

-выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при означает, что движение точки ускоренное, направления и совпадают, знак «-» значит, что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки: ; Т.к. радиус кривизны не известен, применим другую формулу для нахождения модуля нормального ускорения:

Когда найдено нормальное ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

Результаты вычислений занесем в таблицу (для момента времени t = t₁ = 1 c):

Координаты (см)			Скорость (см/с)				Ускорение (см/с2)						кривизны (см)
x	y	z	Vx	Vy	Vz	V	Wx	Wy	Wz	W	Wτ	Wn
2.5	5.6	3.5	-5.4	3.2	3.5	7.2	-12	-8.3	0	14.6	5.3	15.5	3.6

«Определение реакций опор твердого тела».

Задание: Найти реакции опор конструкции.

Дано:

Q = 6, кН

G = 2, кН

a = 60, см

b = 40, см

c = 60, см

Определить:

Реакции опор конструкции.

Решение:

К раме ABCD приложены сила тяжести , сила , реакция стержня DC и реакции опор A и B. Реакция шарового шарнира А определяется тремя составляющими: , а реакция петли В двумя: .

Из этих сил – шесть неизвестных. Для их определения можно составить 6 уравнений равновесия.

Уравнения моментов сил относительно координатных осей:

Уравнения проекций сил на оси координат:

Из этих уравнений находим: решая уравнения, находим неизвестные реакции.

Результаты вычислений заносим в таблицу:

Силы, кН
S	XA	YA	ZA	XB	ZB
1.15	-6.57	0.57	-1	-12.57	2

Проверка:

Проверка показала, что реакции опор твердого тела найдены правильно.

В 18. Д – 1.

Дано: V_A = 0, a = 30°, f = 0,1, ℓ = 2 м, d = 3 м. Найти: h и t.

Решение: Рассмотрим движение камня на участке АВ. На него действуют силы тяжести G, нормальная реакция N и сила трения F.Составляем дифференциальное уравнение движения в проекции на ось X₁ : = G×sina - F , (F = f×N = fG×cosa) Þ = g×sina - fg×cosa,

Дважды интегрируя уравнение, получаем:

= g×(sina - f×cosa)×t + C₁ , x₁ = g×(sina - f×cosa)×t²/2 + C₁t + C₂ ,

По начальным условиям (при t = 0 x₁₀ = 0 и = V_A = 0) находим С₁ и С₂ : C₁ = 0 , C₂ = 0,

Для определения V_B и t используем условия: в т.B (при t = t) , x₁ = ℓ , = V_B . Решая систему уравнений находим:

x₁ = ℓ = g×(sina - f×cosa)×t²/2 Þ 2 = 9,81×(sin30° - 0,1×cos30°)×t²/2 , Þ t = 0,99 c ,

= V_B = g×(sina - f×cosa)×t  V_B = 9,81×(sin30° - 0,1×cos30°)×0,99 = 4,03 м/с ,

Рассмотрим движение камня на участке ВС.На него действует только сила тяжести G. Составляем дифференциальные уравнения движения

в проекции на оси X , Y : = 0 ,  = G ,

Дважды интегрируем уравнения: = С₃  , = gt + C₄ ,

x = C₃t + C₅ , y = gt²/2 + C₄t + C₆ ,

Для определения С₃ , C₄ , C₅ , C₆ , используем начальные условия (при t = 0): x₀ = 0 , y₀ = 0 , = V_B×cosa , = V_B×sina ,

Отсюда находим : = С₃ , Þ C₃ = V_B×cosa , = C₄ , Þ C₄ = V_B×sina

x₀ = C₅ , Þ C₅ = 0 , y₀ = C₆ , Þ C₆ = 0

Получаем уравнения : = V_B×cosa , = gt + V_B×sina

x = V_B×cosa×t , y = gt²/2 + V_B×sina×t

Исключаем параметр t : y = gx² + x×tga ,

2V²_B×cos²a

В точке С x = d = 3 м , у = h. Подставляя в уравнение V_B и d , находим h: h = 9,81×3² + 3×tg30° = 5,36 м ,

2×4,03²×cos²30°