Аналіз теорії цифрових автоматів

Аналіз теорії цифрових автоматів

(курсова робота)

Содержание

Двійкова арифметика

Системи числення з довільною основою

Мішані системи числення

Форма з фіксованою крапкою

Форма з плаваючою крапкою

Прямий, зворотній та доповнюючий коди чисел

Поняття про булеві функції

Аналітичне представлення булевих функцій

Мінімізація булевих функцій

Метод квайна-мак-класкі

Висновок

Висновок

Література

Теорія цифрових автоматів закладає теоретичні основи роботи комп’ютерної техніки. У даній курсові роботі проводиться аналіз математичного підгрунтя даної дисципліни.

Двійкова система числення

Двійкова позиційна система числення

Позиційна система числення з основою 2 називається двійковою. Для запису чисел в двійковій системі використовуються лише дві цифри: 0 і 1. Число два, тобто основа системи подається як 10₂.

Зручність системи - в її надзвичайній простоті.

Недолік - основа системи мала, тому для запису навіть не дуже великих чисел треба використовувати багато знаків.

Переведення числа з двійкової системи числення в десяткову та з десяткової у двійкову.

Нам уже відомо, що число N, записане в системі числення з основою p як (±a_ka_k-1…a₁a₀) _p, рівне N=a_k∙p^k+a_k-1∙p^k-1+…+a₁∙p+a₀

Тому:

1001₂=1∙2³+0∙2²+0∙2¹+1∙2⁰=8+0+0+1=9₁₀

100001₂=1∙2⁵+0∙2⁴+0∙2³+0∙2²+0∙2¹+1∙2⁰=32+0+0+0+0+1=33₁₀

Щоб перевести число із десяткової системи числення у двійкову, треба послідовно ділити десяткове число і його десяткові частки на основу двійкової системи, тобто на число 2. Ділення продовжується до тих пір, поки одержана частка не буде менша основи нової системи числення, тобто 2.

1 |40|2_

0 |20|2_

0 |10|2

0|5|2

1|2|2

0|1

Отже число 81₁₀ в двійковій системі: 1010001₂

Переведемо число 100:

100|2_

0 |50|2_

0 |25|2_

1 |12|2

0|6|2

1|3|2

1|1

Отже, (100) ₁₀= (1100100) ₂

З переводом чисел з десяткової системи одиниць у двійкову приходиться постійно мати справу при роботі на ЕОМ.

Окрему позицію в записі числа називають розрядом. Число розрядів - розрядність (довжина). Номер позиції - номер розряду. Довжина числа - це к-сть позцій (розрядів) в записі числа. В технічному розумінні це довжина розрядної сітки.

Чим менша основа системи, тим більша довжина числа. Якщо довжина розрядної сітки n, то: A_{q max}=q^n-1; A_{q min}= - (qⁿ-1);

Діапазон представлення чисел в заданій системі:

A_{q max} ≥ДП≥ A_{q min.}

Двійкова арифметика

Арифметичні дії в двійковій системі (двійковій арифметиці) виконуються за звичайними для позиційних систем правилами (алгоритмами), які нам відомі з десяткової арифметики, але при цьому, звичайно, використовуються таблиці додавання і множення двійкової системи.

Таблиця додавання

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10₂

(додавання нуля не міняє числа, а один плюс один буде два).

Таблиця множення

0∙0=0

0∙1=0

1∙0=0

1∙1=1

(число, помножене на нуль, є нуль; множення на один не міняє числа).

Додавання. Додавання багатозначних чисел відбувається так само, як і в десятковій системі, тобто порозрядно, починаючи з молодшого.

101101₂ - 1 доданок

+ 10100₂ - 2 доданок

1000001₂ - сума

Перевіримо правильність наших обчислень:

101101₂=1∙2⁵+0∙2⁴+1∙2³+1∙2²+0∙2¹+1∙2⁰=32+0+8+4+0+1=45₁₀

10100₂=1∙2⁴+0∙2³+1∙2²+0∙2¹+0∙2⁰=16+0+4+0+0=20₁₀

45₁₀+20₁₀=65₁₀

1000001₂=1∙2⁶+0∙2⁵+0∙2⁴+0∙2³+0∙2²+0∙2¹+1∙2⁰=64+0+0+0+0+0+1=65₁₀

Віднімання

0-0=0

1-0=1

1-1=0

10₂-1=1

Знайдемо: 111010111₂-1100001₂

111010111₂

- 1100001₂

101110110₂

4

Крапки, поставлені над деякими розрядами, показують, що в двійковій системі одиниця відміченого розряду роздроблюється на дві одиниці вищого розряду.

Множення

11101₂∙1101₂

11101_{2 -} множник

1101₂ - множник

11101 - множене

+11101 - множене, зсунуте на 2 розряди вліво

11101 - множене, зсунуте на 3 розряди вліво

101111001₂ - добуток

Перевірка:

11101₂=1∙2⁴+1∙2³+1∙2²+0∙2¹+1∙2⁰=16+8+4+1=29₁₀

1101₂=13₁₀; 29∙13=377₁₀

101111001₂=1∙2⁸+0∙2⁷+1∙2⁶+1∙2⁵+1∙2⁴+1∙2³+0∙2²+0∙2¹+1∙2⁰=256+0+64+32+16+8++0+1=377_10.

 

Отже, в двійковій арифметиці при множенні не потрібна таблиця множення. Не треба знаходити добутки першого множника на значення послідовних розрядів другого множника, так як значення цих розрядів або 1 або 0.

Достатньо записати значення першого множника одне під одним із зсувом на один розряд; у випадку рівності якого-небудь розряду другого множника нулю, його зсувають на два розряди.

 

1101111₂

101101₂

1101111

1101111

1101111

1101111 __

1001110000011₂

Системи числення з довільною основою

Ми розглянули алгоритм переводу чисел з двiйкової системи числення в десяткову i навпаки - з десяткової в двiйкову. Алгоритми залишаться цiлком аналогiчними, якщо замiсть двiйкової системи числення взяти будь-яку iншу.

Нехай, наприклад, деяке число записане в вiciмковiй системi числення. Це значить, що цифри в записі цього числа є коєфiцiєнти в його розкладi по степенях числа 8:

(a_na_n-1... a₁a₀, a_-1a_-2. .) ₈ =a_n*8ⁿ+a_n-1*8^n-1+... +a₁*8+a₀+a_-1*8^-1+...

Для того,щоб отримати зображення цього числа в десятковiй системi числення, достатньо виконати, користуючись десятковою арифметикою, всi операцiї в правiй частинi цього виразу. Приклад. Перевести число (276,54) ₈ з вiсiмкової системи числення в десяткову:

(276,54) ₈=2*8²+7*8¹+6*8⁰+5*8^-1+4*8^-2=128+56+6+5/8+4/64= (190,6875) ₁₀.

Нехай тепер потрiбно перевести число з десяткової системи числення в вiсiмкову. Як i у випадку переводу в двiйкову систему числення, розглянемо окремо цiлу i дробову частини чисел. Для цiлої частини скористаємось алгоритмом дiлення, а для дробової - множення. В першому випадку ми отримаєм шукане вiсiмкове зображення цiлого числа, зiбравши в зворотньому порядку залишки вiд дiлення на 8, а у другому випадку отримаємо вiсiмкове зображення дробу, зiбравши в прямому порядку цiлi частини при послiдовному множеннi на 8. Приклад. Перевести число (190,6875) ₁₀ з десяткової системи числення в вiсiмкову.

Переведемо цiлу частину:

190 | 8

16 | 23 | 8

30  16 | 2 | 8  (190)₁₀=(276)₈

8

6 7 2 | 0

Переведемо дробову частину:

0 | 6875 (0,6875)₁₀=(0,54)₈

5 | 5000

4 | 0

тобто (190,6875)₁₀ =(276,54)₈.

Цей приклад разом з попереднiм iлюструє, як можна перевiряти правильнiсть переводу з однiєї системи числення в iншу зворотнiм переводом.

Виконання арифметичних дій в СЧ з основою р.

Змішані СЧ. Запис чисел в змішаних СЧ. Системи з кратними основами. Теорема для СЧ з кратними основами

Мішані системи числення

Існує простий спосіб запису десяткових чисел за допомогою двійкових цифр - представлення чисел в мішаній двійково-десятковій системі числення. В ній кожна цифра десяткового зображення числа записується в двійковій системі числення.

Причому для того, щоб такий запис був однозначним, для представлення будь-якої десяткової цифри відводиться одна і та ж кількість двійкових розрядів - чотири. Якщо десяткова цифра вимагає для свого представлення менше значущих двійкових цифр, то попереду цих цифр дописуються нулі (так щоб загальна кількість двійкових знаків залишалась рівною чотирьом). Наприклад, десяткове число 834,25 в двійково-десятковій системі запишеться так:

(834,25) ₁₀ = (1000 0011 0100,0010 0101).

Кожна четвірка (тетрада) двійкових цифр тут відповідає одній десятковій цифрі:

(8)₁₀ = (1000)_2-10 (2)₁₀ = (0010)_2-10

(3)₁₀ = (0011)_2-10 (5)₁₀ = (0101)_2-10

(4)₁₀ = (0100)_2-10

11

Теорема. Якщо P = Qⁿ (P, Q, n - цілі додатні числа), то запис любого числа в мішаній (Q - P) - й системі числення тотожньо співпадає з записом цього ж числа в системі числення з основою Q (з точністю до нулів на початку запису цілої частини числа і на кінці дробової).

Якщо P=8, Q=2, n=3, то 8=2³ і, отже, згідно даної теореми запис будь-якого числа в двійково-вісімковій системі співпадає з записом того ж числа в двійковій системі. (Зауважимо, що за тією ж теоремою записи будь-якого числа в двійковій і двійково-шістнадцятковій системах теж співпадуть). Переведемо, наприклад, все теж число (405) ₁₀ з десяткової системи числення в шістнадцяткову:

405|16

32 |25|16

85 9|1 |16

80 |0

5

Збираючи залишки від ділення, отримаємо (405) ₁₀ = (195) ₁₆.

Представимо тепер число (195) ₁₆ в двійково - шістнадцятковому записі: (195) ₁₆ = (1 1001 0101) _2-6.

Видно, що записи числа в двійковій і двійково-шістнадцятковій системах вuявuлuсь однаковими. Ця властивість двійково-вісімкової системи числення дозволяє дуже просто переводити числа з двійкової системи в вісімкову (чи шістнадцяткову) і навпаки.

Справді, будь-який двійковий запис розглядаємо як двійково-вісімковий код деякого вісімкового числа, розбиваємо його на трійки (тріади) двійкових цифр ліворуч і праворуч від коми. Кожній такій трійці ставимо у відповідність одну вісімкову цифру і отримаємо число в вісімковій системі числення.

Візьмемо, наприклад, код:

(10 011 110,001 1)₂ = (236,14)₈ .

2 3 6 1 4

12

Тут, як і в двійково-десятковому записі, в цілій частині відкинуті крайні зліва нулі, а в дробовій частині - крайні справа. Безумовно, треба їх враховувати як недостатні у відповідних тріадах двійкових цифр. Зворотній перевід чисел з вісімкової системи числення в двійкову також простий. Кожну цифру вісімкового числа записуємо трійкою двійкових символів, тобто записуємо його в двійково-вісімковій системі, а так як цей запис співпадає з двійковим, то ми одержимо число в двійковій системі. Переведемо, наприклад, число (3514,72) ₈ з вісімкової системи в двійкову:

(3514,72)₈ = (11 101 001 100,111 01)₂ .

 3 5 1 4 7 2

Звідси слідує, що вісімкову систему числення можна використовувати для скороченого запису любого двійкового коду. При цьому використовується приблизно в двічі менше символів, якщо розбити їх на трійки цифр і кожну записати однією вісімковою цифрою. Так само запис будь-якого числа в шістнадцятковій системі числення можна використовувати для скороченого запису двійкового коду. В цьому випадку кожному шістнадцятковому символу взаємно однозначно відповідає набір з чотирьох двійкових цифр:

(0)₁₆ = (0000)₂ (8)₁₆ = (1000)₂

(1)₁₆ = (0001)₂ (9)₁₆ = (1001)₂

(2)₁₆ = (0010)₂ (а)₁₆ = (1010)₂ = (10)₁₀

(3)₁₆ = (0011)₂ (b)₁₆ = (1011)₂ = (11)₁₀

(4)₁₆ = (0100)₂ (c)₁₆ = (1100)₂ = (12)₁₀

(5)₁₆ = (0101)₂ (d)₁₆ = (1101)₂ = (13)₁₀

(6)₁₆ = (0110)₂ (e)₁₆ = (1110)₂ = (14)₁₀

(7)₁₆ = (0111)₂ (f)₁₆ = (1111)₂ = (15)₁₀ .

Так як записи числа в двійково-шістнадцятковій і двійковій системах за сформульованою вище теоремою співпадають, то, замінивши всі шістнадцяткові цифри деякого числа на відповідні четвірки двійкових цифр, отримаємо таке ж число в двійковій системі числення. При цьому запис числа буде використовувати приблизно в чотири раза менше цифр, ніж в двійковій системі числення. Наприклад, число (3c2e9) ₁₆ може бути представлене в двійковій системі числення наступним чином: (11 1100 0010 1110 1001) ₂.