Кольцо целых чисел Гаусса

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики
преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

на тему: Кольцо целых чисел Гаусса.

Выполнил:

студент V курса

математического факультета

Гнусов В.В.

___________________________

Научный руководитель:

старший преподаватель кафедры

алгебры и геометрии

Семенов А.Н..

___________________________

Рецензент:

кандидат физ.-мат. наук, доцент

кафедры алгебры и геометрии

Ковязина Е.М.

___________________________

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой________________ Вечтомов Е.М.

« »________________

Декан факультета___________________ Варанкина В.И.

« »________________

Киров 2005

Содержание.

 

Введение. 2

ГЛАВА 1. ДЕЛИМОСТЬ В КОЛЬЦЕ ЧИСЕЛ ГАУССА. 3

1.1 ОБРАТИМЫЕ И СОЮЗНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. 4

1.2 ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ. 5

1.3 НОД. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА. 6

1.4 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ. 9

ГЛАВА 2. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ГАУССА. 12

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЕЛ ГАУССА. 17

Заключение. 23

Введение.

Кольцо целых комплексных чисел  было открыто Карлом Гауссом и названо в его честь гауссовым.

К. Гаусс пришел к мысли о возможности и необходимости расширения понятия целого числа в связи с поиском алгоритмов решения сравнений второй степени. Он перенес понятие целого числа на числа вида , где   — произвольные целые числа, а  — является корнем уравнения  На данном множестве К. Гаусс впервые построил теорию делимости, аналогичную теории делимости целых чисел. Он обосновал справедливость основных свойств делимости; показал, что в кольце комплексных чисел существует только четыре обратимых элемента:  ; доказал справедливость теоремы о делении с остатком, теоремы о единственности разложения на простые множители; показал какие простые натуральные числа останутся простыми и в кольце ; выяснил природу простых целых комплексных чисел.

Развитая К. Гауссом теория, описанная в его труде «Арифметические исследования», явилась фундаментальным открытием для теории чисел и алгебры.

В выпускной работе были поставлены следующие цели:

1. Развить теорию делимости в кольце чисел Гаусса.

2. Выяснить природу простых гауссовых чисел.

3. Показать применение гауссовых чисел при решении обычных диофантовых задач.

ГЛАВА 1. ДЕЛИМОСТЬ В КОЛЬЦЕ ЧИСЕЛ ГАУССА.

Рассмотрим множество комплексных чисел. По аналогии с множеством действительных чисел в нем можно выделить некоторое подмножество целых чисел. Множество чисел вида , где  назовем целыми комплексными числами или гауссовыми числами. Нетрудно проверить, что для этого множества выполняются аксиомы кольца. Таким образом, это множество комплексных чисел является кольцом и называется кольцом целых чисел Гаусса. Обозначим его как , так как оно является расширением кольца  элементом: .

Поскольку кольцо гауссовых чисел является подмножеством комплексных чисел, то для него справедливы некоторые определения и свойства комплексных чисел. Так, например, каждому гауссовому числу  соответствует вектор с началом в точке  и с концом в . Следовательно, модуль гауссова числа  есть . Заметим, что в рассматриваемом множестве, подмодульное выражение всегда есть число неотрицательное целое. Поэтому в некоторых случаях удобнее пользоваться нормой, то есть квадратом модуля. Таким образом . Можно выделить следующие свойства нормы. Для любых гауссовых чисел  справедливо:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Здесь и далее  — множество натуральных чисел, то есть целых положительных чисел.

Справедливость данных свойств тривиальным образом проверяется с помощью модуля. Попутно заметим, что (2), (3), (5) справедливы и для любых комплексных чисел.

Кольцо гауссовых чисел — это коммутативное кольцо без делителей 0, так как оно является подкольцом поля комплексных чисел. Отсюда следует мультипликативная сократимость кольца , то есть

(6)

1.1 ОБРАТИМЫЕ И СОЮЗНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ.

Посмотрим, какие гауссовы числа будут обратимыми. Нейтральным по умножению является . Если гауссово число  обратимо, то, по определению, существует  такое, что . Переходя к нормам, согласно свойству 3, получим . Но эти нормы натуральны, следовательно . Значит, по свойству 4, . Обратно, все элементы данного множества обратимы, поскольку . Следовательно, обратимыми будут числа с нормой равной единице, то есть , .

Как видно не все гауссовы числа будут обратимы. Поэтому интересно рассмотреть вопрос делимости. Как обычно, мы говорим, что  делится на , если существует  такое, что .Для любых гауссовых чисел , а также обратимых  справедливы свойства.

(7)

(8)

(9)

(10)

, где (11)

(12)

Легко проверяются (8), (9), (11), (12). Справедливость (7) следует из (2), а (10) следует из (6). В силу свойства (9), элементы множества  ведут себя по отношению к делимости точно так же как и , и называются союзными с . Поэтому естественно рассматривать делимость гауссовых чисел с точностью до союзности. Геометрически на комплексной плоскости союзные числа будут отличаться друг от друга поворотом на угол кратный .

1.2 ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ.

Пусть надо поделить  на , но невозможно произвести деление нацело. Мы должны получить , и при этом  должно быть «мало». Тогда покажем, чтó брать в качестве неполного частного при делении с остатком во множестве гауссовых чисел.

Лемма 1. О делении с остатком.

В кольце  возможно деление с остатком, при котором остаток меньше делителя по норме. Точнее, для любых  и  найдется  такое, что . В качестве  можно взять ближайшее к комплексному числу  гауссово число.

Доказательство.

Разделим  на  во множестве комплексных чисел. Это возможно, так как множество комплексных чисел является полем. Пусть . Округлим действительные числа  и  до целых, получим соответственно  и . Положим . Тогда

.

Умножая сейчас обе части неравенства на  получим, в силу мультипликативности нормы комплексных чисел, что . Таким образом, в качестве неполного частного можно взять гауссово число , которое как нетрудно видеть, является ближайшим к .

Ч.Т.Д.

1.3 НОД. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА.

Мы пользуемся обычным для колец определением наибольшего общего делителя. НОД’ом двух гауссовых чисел   называется такой их общий делитель, который делится на любой другой их общий делитель.

Как и во множестве целых чисел, во множестве гауссовых чисел для нахождения НОД пользуются алгоритмом Евклида.

Пусть  и  данные гауссовы числа, причем . Разделим с остатком  на . Если остаток будет отличен от 0, то разделим  на этот остаток, и будем продолжать последовательное деление остатков до тех пор, пока оно будет возможно. Получим цепочку равенств:

, где

, где

, где

……………………….

, где

Эта цепочка не может продолжаться бесконечно, так как имеем убывающую последовательность норм, а нормы — неотрицательные целые числа.

Теорема 2. О существовании НОД.

В алгоритме Евклида, примененному к числам Гаусса  и  последний ненулевой остаток есть НОД().

Доказательство.

Докажем, что в алгоритме Евклида действительно получаем НОД.

1.Рассмотрим равенства снизу вверх.

Из последнего равенства видно, что .Следовательно,  как сумма чисел делящихся на . Так как  и , то следующая строчка даст . И так далее. Таким образом, видно, что  и . То есть  это общий делитель чисел  и .

Покажем, что это наибольший общий делитель, то есть  делится на любой другой их общий делитель.