Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Исполнитель:

Студентка группы М-32 Лапухова А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Скиба М.Т.

Гомель 2005

Содержание

Перечень условных обозначений

Введение

1. Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

2. Группы с -перестановочными -максимальными подгруппами

3. Группы, в которых -максимальные подгруппы перестановочны с -максимальными подгруппами

4. Группы, в которых максимальные подгруппы перестановочны с -максимальными подгруппами

Заключение

Литература

Перечень условных обозначений

В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами  обозначаются простые числа.

Будем различать знак включения множеств  и знак строгого включения ;

 и  - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

 - пустое множество;

 - множество всех  для которых выполняется условие ;

 - множество всех натуральных чисел;

 - множество всех простых чисел;

 - некоторое множество простых чисел, т.е. ;

 - дополнение к  во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число - любое число вида ;

Пусть  - группа. Тогда:

 - порядок группы ;

 - порядок элемента  группы ;

 - единичный элемент и единичная подгруппа группы ;

 - множество всех простых делителей порядка группы ;

 - множество всех различных простых делителей натурального числа ;

-группа - группа , для которой ;

-группа - группа , для которой ;

 - подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

 - подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

 - наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;

 - коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

 - -ый коммутант группы ;

 - наибольшая нормальная -подгруппа группы ;

 - -холловская подгруппа группы ;

 - силовская -подгруппа группы ;

 - дополнение к силовской -подгруппе в группе , т.е. -холловская подгруппа группы ;

 - группа всех автоморфизмов группы ;

 -  является подгруппой группы ;

 -  является собственной подгруппой группы ;

 -  является максимальной подгруппой группы ;

нетривиальная подгруппа - неединичная собственная подгруппа;

 -  является нормальной подгруппой группы ;

 - подгруппа  характеристична в группе , т.е.  для любого автоморфизма ;

 - индекс подгруппы  в группе ;

;

 - централизатор подгруппы  в группе ;

 - нормализатор подгруппы  в группе ;

 - центр группы ;

 - циклическая группа порядка ;

 - ядро подгруппы  в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с  в .

Если  и  - подгруппы группы , то:

 - прямое произведение подгрупп  и ;

 - полупрямое произведение нормальной подгруппы  и подгруппы ;

 -  и  изоморфны.

Группа  называется:

примарной, если ;

бипримарной, если .

Скобки  применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

 - подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .

, где .

Группу  называют:

-замкнутой, если силовская -подгруппа группы  нормальна в ;

-нильпотентной, если -холловская подгруппа группы  нормальна в ;

-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;

-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;

нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;

метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа  группы  такая, что  нильпотентна.

разрешимой, если существует номер  такой, что ;

сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Группа Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе  группы  называется такая подгруппа  из , что .

Минимальная нормальная подгруппа группы  - неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .

Цоколь группы  - произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .

 - цоколь группы .

Экспонента группы  - это наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов.

Цепь - это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп - это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.

Ряд подгрупп  называется:

субнормальным, если  для любого ;

нормальным, если  для любого ;

главным, если  является минимальной нормальной подгруппой в  для всех .

Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

 - класс всех групп;

 - класс всех абелевых групп;

 - класс всех нильпотентных групп;

 - класс всех разрешимых групп;

 - класс всех -групп;

 - класс всех сверхразрешимых групп;

 - класс всех абелевых групп экспоненты, делящей .

Формации - это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.

Пусть  - некоторый класс групп и  - группа, тогда:

 - -корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп  из , для которых . Если  - формация, то  является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если  - формация всех сверхразрешимых групп, то  называется сверхразрешимым корадикалом группы .

Формация  называется насыщенной, если всегда из  следует, что и .

Класс групп  называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что  следует, что и каждая подгруппа группы  также принадлежит .

Произведение формаций  и  состоит из всех групп , для которых , т.е. .

Пусть  - некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа  группы  называется -абнормальной, если .

Подгруппы  и  группы  называются перестановочными, если .

Пусть ,  -подгруппы группы  и . Тогда  называется:

(1) -перестановочной с , если в  имеется такой элемент , что ;

(2) наследственно -перестановочной с , если в  имеется такой элемент , что .

Пусть  - максимальная подгруппа группы . Нормальным индексом подгруппы  называют порядок главного фактора , где  и , и обозначают символом .

Подгруппа  группы  называется -максимальной подгруппой или иначе второй максимальной подгруппой в , если в  найдется такая максимальная подгруппа , в которой  является максимальной подгруппой. Аналогично определяют -максимальные (третьи максимальные) подгруппы, -максимальные подгруппы и т.д.

Введение

Подгруппы  и  группы  называются перестановочными, если . Подгруппа  группы  называется перестановочной или квазинормальной в , если  перестановочна с каждой подгруппой группы .

Перестановочные подгруппы обладают рядом интересных свойств, чем был и вызван широкий интерес к анализу перестановочных и частично перестановочных подгрупп в целом. Изучение перестановочных подгрупп было начато в классической работе Оре, где было доказано, что любая перестановочная подгруппа является субнормальной. Подгруппы, перестановочные с силовскими подгруппами, впервые изучались в работе С.А. Чунихина . Отметим, что подгруппы такого типа были названы позднее в работе Кегеля -квазинормальными. В 60-70-х годах прошлого столетия появились ряд ключевых работ по теории перестановочных подгрупп, которые предопределили основные направления развития теории перестановочных подгрупп в последующие годы. Уточняя отмеченный выше результат Оре, Ито и Сеп в работе доказали, что для каждой перестановочной подгруппы  группы  факторгруппа  нильпотентна. В другом направлении этот результат Оре получил развитие в работах Кегеля и Дескинса. Кегель доказал, что любая -квазинормальная подгруппа является субнормальной и показал, что подгруппы, перестановочные с силовскими подгруппами, образуют решетку. Первый из этих двух результатов Дескинс обобщил следующим образом, если  порождается своими -элементами и -подгруппа  группы  -квазинормальна в , то факторгруппа  нильпотентна. В этой работе Дескинс высказал предположение о том, что для квазинормальной в  подгруппы  факторгруппа  абелева. Отрицательное решение этой задачи было получено Томпсоном в работе.

Отметим, что после выхода работ, частично перестановочные подгруппы стали активно использоваться в исследованиях многих авторов. В частности, в работе Э.М. Пальчик исследовал свойства -квазинормальных подгрупп, т. е. подгрупп перестановочных со всеми бипримарными подгруппами группы . Существенно усиливая результат работы, Майер и Шмид доказали, что если  - квазинормальная подгруппа конечной группы , то факторгруппа  содержится в гиперцентре факторгруппы , где  - ядро подгруппы . Отметим, что аналогичный результат для подгрупп, перестановочных с силовскими подгруппами, был получен лишь в недавней работе П. Шмидта. Стоунхьюер в работе обобщил результат Оре на случай бесконечных групп. Он доказал, что каждая перестановочная подгруппа конечно порожденной группы субнормальна.

Значительные успехи, достигнутые в изучении перестановочных подгрупп, в 1960-1980 годах послужили основой для дальнейшего изучения групп по наличию в них тех или иных систем перестановочных подгрупп. В частности, Хупперт доказал, что разрешимая группа  сверхразрешима, если все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп из  перестановочны с силовскими подгруппами из , и группа  разрешима, если в ней имеется такая силовская подгруппа  и такое ее дополнение , что  перестановочна со всеми максимальными подгруппами из . Эти два результата Хупперта дали толчок большому числу публикаций, cвязанных с исследованием влияния на строение основой группы максимальных подгрупп силовских подгрупп и, в частности, с исследованием перестановочности таких подгрупп. Другой результат, давший значительный импульс к исследованию групп с заданными системами перестановочных подгрупп был получен Асаадом и Шаланом в их совместной работе, где была доказана сверхразрешимость конечной группы  при условии, что , где все подгруппы из  перестановочны со всеми подгруппами из . Идеи этой работы и, в частности, отмеченный здесь результат этой работы были развиты во многих направлениях в исследованиях многих авторов, где на основе перестановочности были описаны многие важные классы конечных и бесконечных групп .

В работе Го Вэньбиня, Шама и А.Н. Скибы было рассмотрено новое обобщение понятия перестановочной подгруппы. Согласно, погруппы  и  называются -перестановочными, где , если в  имеется такой элемент , что . Используя понятие -перестановочности можно охарактеризовать многие важные классы групп по наличию в них тех или иных -перестановочных подгрупп для подходящих . Согласно, группа  является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы -перестановочны со всеми другими подгруппами этой группы. Новые характеризации в терминах -перестановочных подгрупп для класов разрешимых, сверхразрешимых и нильпотентных групп можно найти в работах.

Таким образом, задача изучения групп с заданной системой перестановочных и обобщенно перестановочных подгрупп вполне актуальна, и дальнейшей ее реализации посвящена данная работа.