Программная реализация итерационных методов

3. Программная реализация итерационных методов

Реализация алгоритмов итерационных методов решения систем нелинейных уравнений будет показана на примере системы:

3.1 Метод простых итераций

Приведём систему к виду:

Проверим условие сходимости метода простых итераций.

Для этого построим матрицу Якоби

> f1:=0.1-x0^2+2*y0*z0;

f2:=-0.2+y0^2-3*x0*z0;

f3:=0.3-z0^2-2*x0*y0;

> f1x:=diff(f1,x0):

> f1y:=diff(f1,y0):

> f1z:=diff(f1,z0):

> f2x:=diff(f2,x0):

> f2y:=diff(f2,y0):

> f2z:=diff(f2,z0):

> f3x:=diff(f3,x0):

> f3y:=diff(f3,y0):

> f3z:=diff(f3,z0):

> A:=<<f1x|f1y|f1z>,<f2x|f2y|f2z>,<f3x|f3y|f3z>>;

И найдём ей обратную, норму обратной матрицы сначала в общем виде:

> A1:=MatrixInverse(A);

> norma:=MatrixNorm(A1,1);

Найдём значения  при которых норма обратной матрицы Якоби меньше единицы.

> x0:=1; y0:=1; z0:=1;

> norma;

Это означает, что по формулам

последовательность итераций будет сходиться к решению системы уравнений.

Построим итерационную последовательность

> restart;

> with(LinearAlgebra):

> x0:=0:

y0:=0:

z0:=0:

> x:=0.1-x0^2+2*y0*z0;

y:=-0.2+y0^2-3*x0*z0;

z:=0.3-z0^2-2*x0*y0;

i:=1;

> while (abs(x-x0)>0.0001)and(abs(y-y0)>0.0001)and(abs(z-z0)>0.0001) do

x0:=x:

y0:=y:

z0:=z:

x:=0.1-x0^2+2*y0*z0;

y:=-0.2+y0^2-3*x0*z0;

z:=0.3-z0^2-2*x0*y0;

i:=i+1;

end do:

Получили ответ:

Количество итераций:

Погрешность решения:

Отсюда можно получить коэффициент сжатия последовательности:

При

> P:= 0.3*q^22/(1-q)-0.0001;

> q:= fsolve(P);

Таким образом можно сказать, что было построено сжимающее отображение, для которого выполняется условие Липшица

Текст программы:

procedure TForm1.Button3Click(Sender: TObject);

var i:integer;

x0,y0,z0,x,y,z,eps: real;

begin

x0:=StrToFloat(Edit1.Text);

y0:=StrToFloat(Edit2.text);

z0:=StrToFloat(Edit3.Text);

eps:=StrToFloat(Edit20.Text);

i:=1;

x:=0.1-x0*x0+2*y0*z0;

y:=-0.2+y0*y0-3*x0*z0;

z:=0.3-z0*z0-2*x0*y0;

repeat

i:=i+1;

x0:=x;

y0:=y;

z0:=z;

x:=0.1-x0*x0+2*y*z;

y:=-0.2+y0*y0-3*x0*z0;

z:=0.3-z0*z0-2*x0*y0;

until ((abs(x-x0)<eps)and(abs(y-y0)<eps)and(abs(z-z0)<eps));

Edit8.Text:=FloatToStr(x);

Edit9.Text:=FloatToStr(y);

Edit10.Text:=FloatToStr(z);

Edit11.Text:=IntToStr(i);

end;

Преобразование Эйткена на примере метода простых итереций:

> restart;

> x0:=0:

y0:=0:

z0:=0:

> f1:=0.1-x0^2+2*y0*z0;

f2:=-0.2+y0^2-3*x0*z0;

f3:=0.3-z0^2-2*x0*y0;

ff1:=0.1-f1^2+2*f2*f3;

ff2:=-0.2+f2^2-3*f1*f3;

ff3:=0.3-f3^2-2*f1*f2;

x:=(x0*ff1-f1^2)/(ff1-2*f1+x0);

y:=(y0*ff2-f2^2)/(ff2-2*f2+y0);

z:=(z0*ff3-f3^2)/(ff3-2*f3+z0);

i:=1;

while (abs(x-x0)>0.0001)do

x0:=x:

y0:=y:

z0:=z:

f1:=0.1-x0^2+2*y0*z0;

f2:=-0.2+y0^2-3*x0*z0;

f3:=0.3-z0^2-2*x0*y0;

ff1:=0.1-f1^2+2*f2*f3;

ff2:=-0.2+f2^2-3*f1*f3;

ff3:=0.3-f3^2-2*f1*f2;

x:=(x0*ff1-f1^2)/(ff1-2*f1+x0);

y:=(y0*ff2-f2^2)/(ff2-2*f2+y0);

z:=(z0*ff3-f3^2)/(ff3-2*f3+z0):

i:=i+1;

end do:

Получили ответ:

Количество итераций: