Исследование функций и построение их графиков

Тема 1. Предел функции

Число А называется пределом функции  при , стремящимся к , если для любого положительного числа  (>0) найдется такое положительное число >0 (зависящее в общем случае от ), что для всех , не равных  и удовлетворяющих условию xx<, выполняется неравенство xА x<.

Для предела функции вводится обозначение  =А.

Пределы функций обладают следующими основными свойствами:

Функция не может иметь более одного предела.

Если  = С (постоянная), то  С.

Если существует А, то для любого числа  верно:

Если существуют  А и  В, то = АВ,  а если В0, то

.

Операция предельного перехода перестановочна с операцией вычисления непрерывной функции, т. е. справедлива формула

Если функция  непрерывна в точке , то искомый предел равен значению функции в этой точке, т.е. он находится непосредственной подстановкой предельного значения переменной вместо аргумента :

Функция ( называется бесконечно малой величиной при , если ее предел равен нулю:  Функция называется бесконечно большой величиной при , если

Пример 1.  9.

Пример 2.   .

В рассмотренных примерах предел находился сразу: в виде числа или символа  (бесконечность). Но чаще при вычислении пределов мы встречаемся с неопределенностями, когда результат нахождения предела не ясен, например, в случае отношения двух бесконечно малых функций (условное обозначение ) или бесконечно больших ().Кроме названных встречаются неопределенности вида

Для раскрытия неопределенностей используются специальные приемы и два следующих предела, которые играют особую роль в математике и поэтому называются замечательными:

- первый замечательный предел

-второй замечательный предел  (число Эйлера).

Пример 3. .

Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что имеем дело с неопределенностью вида :

.

Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Найдем корни многочлена, стоящего в числителе. Для этого составим уравнение второй степени  и найдем его решение:

 

Тогда для квадратного трехчлена справедливо разложение на множители

.

Аналогичные действия выполним для многочлена, стоящего в знаменателе.

Уравнение  имеет решения

 

и знаменатель представляется в виде:

Сократим дробь на множитель  и вычислим ее при

Пример 4.  

Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что возникает неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение , являющееся сопряженным к знаменателю

= .

Пример 5. .

Решение. Имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на (в более общем случае, когда числитель и знаменатель представляют многочлены разных степеней, делят на  с наибольшим показателем степени числителя и знаменателя). Используя свойства пределов, получим:

.

Пример 6. .

Решение. При  имеем неопределенность вида . Представим , разделим и умножим числитель и знаменатель на числа 2, 5 и , тогда предел преобразуется к виду:

.

Пользуясь свойствами пределов и первым замечательным пределом, далее имеем:

.

Пример 7. .

Решение. Имеем неопределенность вида [], так как

, а .

Выделим у дроби целую часть

.

Введем новую переменную  и выразим отсюда  через : . Тогда

 

Заметим, что при  переменная . Теперь, переходя к новой переменной и используя второй замечательный предел, получим:

=.

Неопределенности вида  путем алгебраических преобразований приводятся к виду . Неопределенности вида ,  можно раскрыть, предварительно прологарифмировав соответствующую функцию. Неопределенности вида  можно исключить, используя правило Лопиталя, которое изложено в конце темы 2.

Пример 8. Первоначальный вклад в банк составил  денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно % годовых. Необходимо найти размер вклада  через  лет при непрерывном начислении процентов. Решить задачу при =10, =5%, =20 лет.

Решение. При % годовых размер вклада ежегодно будет увеличиваться в

 раз, т.е. .

Если начислять проценты по вкладам не один раз в год, а  раз, то размер вклада за  лет при  начислениях составит

.

Тогда размер вклада за  лет при непрерывном начислении процентов () сводится к нахождению предела

.

Здесь при решении использовался второй замечательный предел.

Подставляя исходные числовые данные задачи, получаем

 (ден. единиц).

Вопросы для самопроверки

Дайте определение предела функции в точке.

Назовите основные свойства пределов функций.

Какие виды неопределенностей встречаются при нахождении пределов?

Какие пределы называются замечательными?

Какие функции называют бесконечно малыми?

Задачи для самостоятельной работы

Найти пределы следующих функций:

Номер варианта	А)	Б)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Таблица 1.

Тема 2. Производная функции

Приращением функции  в точке , соответствующим приращению аргумента , называется число .

Производной функции  в точке  называется предел отношения приращения функции  к приращению аргумента  при , если этот предел существует, и обозначается:

.

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция  имеет в точке  конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Важнейшими правилами дифференцирования являются следующие.

Производная постоянной  равна нулю: .

Постоянный множитель выносится за знак производной

.

Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций

.

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго

.

Производная частного двух дифференцируемых функций находится по формуле

.

Пусть переменная  есть функция от переменной  (например, ), а переменная , в свою очередь, есть функция от независимой переменной  (), иначе задана сложная функция .

Если  и  - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной :

Если функция, производную которой нужно найти, представляет из себя комбинацию элементарных функций, то для вычисления производной применяются правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций, приводимая ниже.

Таблица 2.

№	функция	производная	№	функция	производная
1			7		1/
2			8		-1/
3		1/	9		1/()
4			10		-1/()
5			11		1/(1+)
6		-	12		-1/(1+)

 

Пример 1. Найти производную функции

.

Решение. Представим ее как сложную функцию. Пусть , тогда  и . Найдем производную по промежуточному аргументу  как степенной функции

.

В свою очередь, промежуточный аргумент  представляется в виде суммы двух степенных функций минус постоянная, поэтому, используя правила 1-3,по-лучим

=.

Отсюда производная искомой функции

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Обозначим, . Тогда  и искомая производная находится из формулы .

Производную  находим из таблицы производных элементарных функций

.

Второй сомножитель  представляет производную от степенной функции

Наконец, последняя производная  находится по правилам дифференцирования частного

==.

В итоге получаем искомую производную

.

Пример 3. Наити производную

.

Решение. Производная суммы двух функций есть сумма их производных

.

Для нахождения производной первого слагаемого  обозначим , .

Тогда ,

=

Производную второго слагаемого  найдем по правилу дифференцирования степенно-показательной функции. Прологарифмируем функцию :  Дифференцируем левую и правую часть полученного равенства

Отсюда

Наконец, находим производную искомой функции

Пример 4. На основе опытных данных построена математическая модель спроса  населения на некоторый товар в зависимости от цены :

.

Определить эластичность спроса при  (в условных денежных един.).

Решение. Эластичностью спроса  называют предел отношения относительного приращения спроса  к относительному приращению цены  при :

.

Если >1, то спрос называют эластичным, при <1 – неэластичным, а при нейтральным.

Найдем производную

.

Тогда

.

Определим эластичность спроса при :. Таким образом, при такой цене имеем неэластичный спрос.

Правило Лопиталя. При нахождении пределов функций (тема 1) неопределенности вида  можно исключить, применяя правило Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует, т. е.

Если  (или ), то правило Лопиталя можно использовать вторично, т.е.

В общем случае правило Лопиталя можно применять неоднократно.

Пример 5. Найти

Решение. Для раскрытия неопределенности применим правило Лопиталя.

Неопределенность вида  по-прежнему сохраняется. Применим правило Лопиталя еще раз:

Вопросы для самопроверки

Дайте определение производной функции в точке.

Какая функция называется дифференцируемой в точке?

Назовите важнейшие правила дифференцирования.

Как находится производная сложной функции?

Сформулируйте правило Лопиталя.

Задачи для самостоятельной работы

Найти производные следующих функций:

Таблица 3.

Номер варианта	А)	Б)	В)
1	y=(3x4-4x(-1/4)+2)5	y=arccos2x+(1-4x2)1/2	y=2tgx+x sin(2x
2	y=(5x2+4x(5/4)+3)3	y=arctg(x2-1)1/2	y=e3x-2x tg(3x)
3	y=(0.25x8+8x(3/8)-1)3	y=arccos(1-x2)1/2	y=3cosx-x sin(2x)
4	y=(0.2x5-3x(4/3)-4)4	y=arctg(x-1)1/2
5	y=(3x8+5x(2/5)-3)5	y=arctg(2/(x-3))
6	y=(5x4-2x(-3/2)+3)4	y=arccos(1-x)1/2
7	y=(4x3+3x(-4/3)-2)5	y=arcctg(x-1)1/2
8	y=(7x5-3x(5/3)-6)4	y=arcsin3x-(1-9x2)1/2	y=etgx-x1/2 cos(2x).
9	y=(3x4-4x(-1/4)-3)5	y=arctg(1/(x-1))	y=x tg3x+2x-2
10	y=(8x3-9x(-7/3)+6)5	y=arcsin((1-x)1/2)

Тема 3. Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях

Дифференциалом функции  в точке  называется главная, линейная относительно приращения аргумента часть приращения функции , равная произведению производной функции в точке  на приращение независимой переменной:

.

Отсюда приращение функции  отличается от ее дифференциала  на бесконечно малую величину и при достаточно малых значениях можно считать  или

.

Приведенная формула используется в приближенных вычислениях.

Пример. Вычислить приближенно

Решение. Рассмотрим функцию . Это степенная функция и ее производная найдется:

В качестве  требуется взять число, удовлетворяющее условиям:

- значение известно или достаточно просто вычисляется;

- число  должно быть близким к числу 33,2, т.е. приращение  должно быть как можно меньше.

В нашем случае этим требованиям удовлетворяет число  = 32, для которого = 2,  = 33,2 -32 = 1,2.

Применяя формулу, находим искомое число:

 + .

Вопросы для самопроверки