Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел

16462
знака
16
таблиц
2
изображения

IX математический симпозиум.

Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел.

г. Волжский.

05-11 октября 2008 года.

Белотелов В.А.

Нижегородская обл.

г. Заволжье

vbelotelov@mail. ru


Простые числа? – Это просто!?

Узнав о важной роли простых чисел (ПЧ) в криптографии, генерации случайных чисел, навигации, имитационном моделировании и о том, что нужна закономерность распределения ПЧ в ряду натуральных чисел, не являясь математиком, всё же рискнул заняться решением этой задачи. Результат ниже.

Для начала выписал ряд ПЧ. Конечно же, это было сделано с целью заметить, хоть какую бы, закономерность. С этой же целью были вычислены разности между соседними числами ряда ПЧ. Было замечено, что иногда появлялась последовательность разностей 6-4-2-4-2-4-6-2. Там, где эта последовательность нарушалась, были введены составныё числа (СЧ). Результат представлен в таблице 1, СЧ в которой подчёркнуты. Числа 2, 3, 5, являясь ПЧ, из рассмотрения всё же были убраны. Это первое исключение из правил. Вторая вольность заключалась введением в рассмотрение числа 1, зная, что единица не является простым числом.

Целью же было найти закономерность среди ПЧ + СЧ, а потом уже найти закономерность среди ПЧ. Стратегия поиска закономерности ПЧ заключалась в следующей логической формуле:

(закономерность ПЧ+СЧ) – (закономерность СЧ) = закономерность ПЧ.

Из ПЧ + СЧ, представленных в таблице 1, была составлена система из восьми арифметических прогрессий. Результат представлен в таблице 2.

Разности всех восьми прогрессий равны 30 и их первые члены равны соответственно 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, а сами ряды обозначены через R1, R7,R11, R13, R17, R19, R23, R29. СЧ, как и в таблице 1, подчёркнуты и сверху расписаны в виде произведений двух чисел. Можно сформулировать правило, по которому в любой из восьми арифметических прогрессий распределены СЧ.

Если в арифметической прогрессии, какой – либо член an можно представить в виде двух сомножителей fxp, то последующие члены этой прогрессии an+mf являются произведением fx(p+md), а члены an+kp произведением px(f+kd), где m и k любые натуральные

числа, а d – разность этой прогрессии.

Данное правило не нуждается в доказательстве, т. к. фактически следует из определения арифметической прогрессии. Но для обеспечения закономерности ПЧ имеет большое значение. Во - первых, оно запрещает поиск рядов ПЧ, подчиняющихся одной арифметической прогрессии, т. к. любое простое число an можно представить в виде anх1, и тогда в любом ряде через число членов an, появляется составное число anх(1+d).

Во – вторых, в любой арифметической прогрессии появление дополнительных составных чисел возможно только в сочетании с разностью именно этой прогрессии.

Это правило можно сформулировать для любого числа сомножителей, но в данном случае интерес представляет число сомножителей равное двум.

В качестве примера рассмотрим в ряде R1 четвёртый член равный 91=7х13. Ближайшим членом в ряде R1 кратным семи является число 301, отстоящее от числа 91 на семь номеров, соответственно, число 301 принадлежит ряду СЧ. Число 301 является произведением 7х43 (301=7х43), и с номера этого числа равного 11, каждое сорок третье число, тоже делится на 43 и, соответственно, принадлежит к ряду СЧ. Дальше это можно не описывать, т. к. это хорошо видно в таблице 2.

Расписав таблицу 2 в виде математических символов, удалось получить систему из восьми формул, расписанных в виде разности сумм, см. таблицу 3. Во всех восьми формулах системы, члены с рядами двойных сумм служат фильтрами, удаляющими СЧ из ряда ПЧ+СЧ, и задают работу фильтров в виде матриц.

В таблице 4 изображено распределение номеров СЧ в ряде R1, определяемых вторым членом формулы. Это матрица, в которой и по столбцам и по строкам арифметические прогрессии.

В формулах индексы  и  обозначают столбцы и строки подобных матриц, сами же  и  дополнительными индексами не отягощаю. Без  и  описать работу матриц не смог, а формальная фраза, что в выражениипод суммой произведений подразумеваются всевозможные их комбинации в зависимости от значений a1 и с1, будет неверна. Ибо все члены с номерами при >1 и >1 из формулы выпадают.

Система формул арифметических прогрессий, позволяющая вычислять ПЧ, получилась достаточно громоздкой, но закономерность обозначена.

Данная статья была подготовлена для публикации в научном журнале с математическим уклоном. Пока шёл поиск данного журнала, путём несложных умозаключений, была составлена система рядов арифметических прогрессий с разностью 10. Результат в таблице 5 и 6. Всё было расписано по образцу и подобию предыдущего материала. В таблице 7 изображена матрица для номеров второго члена формулы 1 таблицы 6.

Не начав переписывать статью заново, в связи с открытием новой системы уравнений, опять же путём размышлений, были расписаны арифметические прогрессии с разностью 2 и 1, т.е. при разности единица ПЧ были напрямую увязаны с натуральным рядом. Результат в таблице 8 и 9.

Всё расписано, как и в случаях с системами уравнений арифметических прогрессий разностей 30 и 10. И после этого наступил момент истины.

Оказалось, что подобных уравнений можно составить бесконечное множество. Навскидку – это арифметические прогрессии с разностью 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 20, 30, 36, 60, и т.д. Даже в перечисленном до разности 60 указаны не все.

Обобщающий вывод:

ПЧ можно представить комбинацией арифметических прогрессий. Таких комбинаций бесконечное множество. Но каждая из комбинаций систем арифметических прогрессий позволяет только единственное представление ПЧ при заданной разности прогрессий задающий ряды ПЧ+СЧ.


1 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47

49

 

53 59
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
61 67 71 73

77

79 83 89

91

97 101 103 107 109 113

119

6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2

121

127 131

133

137 139

143

149 151 157

161

163 167

169

173 179
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
181

187

191 193 197 199

203

209

211

217

221

223 227 229 233 239
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
241

247

251

253

257

259

263 269 271 277 281 283

287

289

293

299

6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2

301

307 311 313 317

319

323

329

331 337

341

343

 

347 349 353 359
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2

361

367

371

373

377

379 383 389

391

397 401

403

407

409

413

419

 

6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
421

427

431 433

437

439

 

443 449

451

457 461 463 467

469

473

479
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2

481

487 491

493

497

499 503 509

511

517

521 523

527

529

533

539

6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
541 547

551

553

557

559

563 569 571 577

581

583

587

589

593 599
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
601 607

611

613 617 619

623

629

631

637

 

641 643

 

647

649

653 659
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
661

667

671

673 677

679

683

689

691

697

701

703

707

709

713

719
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2

721

727

731

733

737

739 743

749

751 757 761

763

767

769 773

779

6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2

 


7х13

11х11 7х43 19х19 17х23 11х41 13х37 7х73

1

31

61

91

121

151

181

211

241

271

301

331

361

391

421

451

481

511

541

571

11х17 7х31 13х19 7х61 11х47

7

37

67

97

127

157

187

217

247

277

307

337

367

397

427

457

487

517

547

577

7х23 13х17 11х31 7х53 19х29 7х83

11

41

71

101

131

161

191

221

251

281

311

341

371

401

431

461

491

521

551

581

7х19 11х23 7х49 13х31 17х29 7х79 11х53

13

43

73

103

133

163

193

223

253

283

313

343

373

403

433

463

493

523

553

583

7х11 7х41 13х29 11х37 19х23 7х71 17х31

17

47

77

107

137

167

197

227

257

287

317

347

377

407

437

467

497

527

557

587

7х7 13х13 7х37 17х17 11х29 7х67 23х23 13х43 19х31

19

49

79

109

139

169

199

229

259

289

319

349

379

409

439

469

499

529

559

589

11х13 7х29 17х19 7х59 11х43 13х41

23

53

83

113

143

173

203

233

263

293

323

353

383

413

443

473

503

533

563

593

7х17 11х19 13х23 7х47

11х49

7х77

29

59

89

119

149

179

209

239

269

299

329

359

389

419

449

479

509

539

569

599


 

 


7х103

11х71 29х29 13х67 17х53

19х49

7х133

31х31 23х47 11х101 7х163

601

631

661

691

721

751

781

811

841

871

901

931

961

991

1021

1051

1081

1111

1141

1171

13х49

7х91

23х29 17х41 19х43

11х77

7х121

13х79 7х151 31х37 11х107

607

637

667

697

727

757

787

817

847

877

907

937

967

997

1027

1057

1087

1117

1147

1177

13х47 11х61 17х43 7х113 23х37

13х77

11х91

7х143

19х59

611

641

671

701

731

761

791

821

851

881

911

941

971

1001

1031

1061

1091

1121

1151

1181

19х37 7х109 13х61 11х83 23х41 7х139 17х59

13х91

7х169

613

643

673

703

733

763

793

823

853

883

913

943

973

1003

1033

1063

1093

1123

1153

1183

7х101 11х67 13х59 7х131 19х53 17х61 11х97

23х49

7х161

13х89

617

647

677

707

737

767

797

827

857

887

917

947

977

1007

1037

1067

1097

1127

1157

1187

11х59 7х97

 

17х47 7х127 13х73 11х89

 

7х157

 

19х61 29х41

619

649

679

709

739

769

799

829

859

889

919

949

979

1009

1039

1069

1099

1129

1159

1189

7х89 23х31 11х73

17х49

7х119

19х47 13х71 7х149 29х37 11х103

623

653

683

713

743

773

803

833

863

893

923

953

983

1013

1043

1073

1103

1133

1163

1193

17х37 13х53 7х107 19х41 11х79 29х31 7х137 23х43 13х83 17х67 7х167 11х109

629

659

689

719

749

779

809

839

869

899

929

959

989

1019

1049

1079

1109

1139

1169

1199





4 +7 11 +7 18 +7 25 +7 32 39 46 53 60 67
+13 +43 +73 +103 +133 +163 +193 +223 +253 +283
17 +37 54 +37 91 +37 128 165 202 239 276 313 350
+43 +73 +103
30 +67 97 +67 164 +67 231 298 365 432 499 566 633
+13 +43 +73 +103
43 +97 140 +97 237 +97 334 431 528 625 722 819 916
56 +127 183 310 437 564 691 818 945 1072 1199
69 +157 226 383 540 697 854 1011 1168 1325 1482
82 +187  269 456 643 830 1017 1204 1391 1578 1765
95 +217  312 529 746 963 1180 1397 1614 1831 2048
108 +247  355 602 849 1096 1343 1590 1837 2084 2331
121 +277 398 675 952 1229 1506 1783 2060 2337 2614

3х7 3х17

9х9

3х27

7х13 3х37 11х11 3х47 7х23

9х19

3х57

3х67
1 11

21

31 41

51

61 71

81

91

101

111

121

131

141

151

161

171

181 191

201

3х11

7х9

3х21

3х31 3х41 7х19 11х13

9х17

3х51

3х61 7х29
3 13 23

33

43 53

63

73 83

93

103 113

123

133

143

153

163 173

183

193

203

3х9 3х19 7х11 3х29

9х13

3х39

7х21

3х49

3х59 11х17

9х23

3х69

7 17

27

37 47

57

67

77

87

97 107

117

127 137

147

157 167

177

187

197

207

3х3 3х13 7х7 3х23

9х11

3х33

7х17 3х43 3х53 13х13

9х21

7х27

3х63

11х19

9

19 29

39

49

59

69

79 89

99

109

119

129

139 149

159

169

179

189

199

209

R1

 
13х17

11х21

7х33

3х77

9х29

3х87

3х97 7х43 3х107 11х31

9х39

13х27

3х117

19х19 7х53 3х127 17х23
211

221

231

241 251

261

271 281

291

301

311 321 331

341

351

361

371

381

391

R3

 
9х27

3х71

9х27

3х81

11х23

7х39

3х91

3х101 17х19

9х37

3х111

7х49

11х33

3х121

3х131

213

223 233

243

253

263

273

283 293

303

313

323

333

343

353

363

373 383

393

9х27

11х27

R7

 
9х33

7х31

3х79 13х19 3х89 7х41

11х27

9х33

3х99

3х109

17х21

7х51

3х119

13х29

9х43

3х129

217

227

237

247

257

267

277

287

297

307 317 327 337 347 357 367

377

387

397

9х27

R9

 
3х73
3х83 7х37

9х31

3х93

17х17 13х23 3х103 11х29 7х47

19х21

3х113

9х41

3х123

7х57

3х133

219

229 239

249

259

269

279

289

299

309

319

329

339

349 359

369

379 389

399


R1

 
3х137

9х49

21х21

7х63

3х147

11х41 3х157 13х37 3х167 7х73

9х59

3х177

19х29

11х51

17х33

3х187

7х83
401

411

421 431

441

451

461

471

481

491

501

511

521

531

541

551

561

571

581

R3

 
7х59

9х47

3х141

3х151 11х43

7х69

21х23

3х161

17х29

19х27

9х57

3х171

3х181 7х79 3х191 11х53
403

413

423

433 443

453

463

473

483

493

503

513

523 533

543

553

563

573

583

7х81

9х63

R7

 
11х37
3х139 7х61 19х23 3х149

9х53

3х159

7х71 3х169 11х47 17х31 3х179

7х81

9х63

3х189

407

417

427

437

447

457 467

477

487

497

507

517

527

537

547 557

567

577 587

R9

 

11х39

3х143

9х51

17х27

3х153

7х67 3х163 3х173 23х23

11х49

7х77

9х61

3х183

3х193 19х31
409 419

429

439 449

459

469

479

489

499 509

519

529

539

549

559 569

579

589


3

+3

6

+3

9

+3

12

+3

15 18 21 24 27 30

 +7

 +17

+27

 +37

+47

+57

 +67

 +77

 +87

+97

10

+13

23

+13

36

+13

49 62 75 88 101 114 127

 +7

 

 +17

+27

 +37

+47

17 +23 40 +23 63 +23 86 109 132 155 178 201 224

 +7

 +17

+27

 +37

+47

24

+33

57

+33

90

+33

123 156 189 222 255 288 321

 +7

 
31

+43

74 117 160 203 246 289 332 375 418
38

+53

91 144 197 250 303 356 409 462 515
45 +63  108 171 234 297 360 423 486 549 612

52 +73  125 198 271 344 417 490 563 636 709

59

+83

142 225 308 391 474 557 640 723 806
66

+93

159 252 345 438 531 624 717 810 903

3х3

ani=2n - 1

 
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61 …


5

+3

8

+3

11

+3

14

+3

17

+3

20

+3

23

+3

26

+3

29

+3

 +5

+7

+9

+11

+13

+15

+17

+19

8

+5

13 18 23 28 33 38 43 48

 

 +3

 

 +6

 

 +6

 
11

+7

18 25 32 39 46 53 60 67

 

+3

14

+9

23 32 41 50 59 68 77 86

 +3

 

 +6

 

 +7

 

n≠

 

n≠

 
17
+11 28 39 50 61 72 83 94 105

+3

20

+13

33 46 59 72 85 98 111 124

+3

23

+15

38 53 68 83 98 113 128 143

+3

26

+17

43 60 77 94 111 128 145 162

+3

29

+19

48 67 86 105 124 143 162 181

2х2

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32,

33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44 ,45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56. 57, 58, 59, 60, 61 …

ani = n

 

4

+2

6

+2

8

+2

10

+2

12

+2

14

+2

16

+2

18

 +2

 +3

 +4

 +5

 +6

 +7

 +8

 +9

6

+3

9

+3

12

+3

15

+3

18

+3

21

+3

24

+3

27

 +2

 

 +6

 

 +6

 

 

 

8

+4

12 16 20 24 28 32 36

 

 +2

n≠

 
10

+5

15 20 25 30 35 40 45

 +2

 

 +6

 

n≠

 

 +7

 
12 +6 18 24 30 36 42 48 54

 +2

14

+7

21 28 35 42 49 56 63

 +2

16

+8

24 32 40 48 56 64 72

 +2

18

+9

27 36 45 54 63 72 81

5х5 7х7 5х11 5х17 7х13 5х23 11х11  7х19 5х29

1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, 67, 73, 79, 85, 91, 97, 103, 109, 115, 121, 127, 133, 139, 145,

5х7 5х13 7х11 5х19 7х17 5х25

5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71 , 77, 83, 89, 95, 101, 107, 113, 119, 125, 131, 137, 143. 149 …

5

+5

10

+5

15

+5

20

+5

25

 +5

 +11

 +17

 +23

 +29

10

+11

21

+11

32

+11

43

+11

54

 

 +5

 

 

+11

15

+17

32 49 66 83

 

 +5

 

+11

20

+23

43 66 89 112

 +5

+11

25

+29

54 83 112 141


Закономерность распределения простых чисел (дополнение).

Белотелов В.А.

Нижегородская обл.

г. Заволжье

vbelotelov@mail. ru

Там где даны в качестве примера разности арифметических прогрессий и указан их ряд 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 20, 30, 36, 60. На самом деле пропусков в ряду быть не должно. Ряд разностей арифметических прогрессий имеет вид – 1, 2, 3, 4, 5, 6…. ® ¥.

Я написал предыдущий ряд разностей по принципу личной симпатии. Подстраховался от критики, ежели бы у кого-то не получилось составить систему уравнений, например, с разностью d = 7, ибо для нетренированных рук могут возникнуть трудности.

И ещё. Формулы членов матриц составных чисел (СЧ), которые описываются в системах уравнений двойными суммами. Для этого требуется всего лишь в значения переменных двойных сумм вставить их аналитические выражения через переменные и  - столбцы и строки матриц.

Тогда формула любого члена матриц СЧ таблицы 4, примет вид (30I - 17) (30j - 23).

Аналогично для таблицы 7 - (10I - 3) (10 j - 7).

Для таблицы 8, ряда нечётных чисел - (2I + 1) (2 j + 1).

Для таблицы 9, ряда натуральных чисел - (I + 1) ( j + 1).

Заостряю внимание на том факте, что это уже не номера членов СЧ в рядах простых чисел ПЧ + СЧ, а численные значения этих номеров. И подобных уравнений СЧ можно составить по числу систем арифметических прогрессий, и даже значительно больше, т.е. бесконечное множество.

Всё же для наглядности распишу систему уравнений таблицы 3 предыдущей работы.


 

 

 

 

 


*и  - столбцы и строки матриц, индексами не снабжаю.

И уж больно симпатичная система из 2-х уравнений с разностью арифметических прогрессий d=6.

5х5 7х7 5х11 5х17 7х13
1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97
5х7 5х13 7х11 5х19
5 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65 71 77 83 89 95 101

Напишу только формулы составных чисел

1 – для верхнего ряда (6I - 1) (6 j - 1), (6k + 1) (6e +1).

2 – для нижнего ряда (6I + 1) (6 j - 1).

А написал с единственной целью сравнить формулы разных систем простых чисел.

В системе c d = 30 число 91 – это (30 - 17) (30 - 23), при *= 1, = 1.

В системе c d = 10 это же число – (10 - 3) (10 - 7), при *= 2, = 1.

В системе c d = 6 ……………… – (6+ 1) (6+ 1), при *= 1, = 2.

В системе c d = 4 ……………… – (4 - 1) (4+ 1), при *= 2, = 3.

В системе c d = 2 ……………… – (2+ 1) (2+ 1), при *= 3, = 6.

В системе c d = 1 ……………… – (+ 1) (+1), при *= 6, = 12.


6

+5

11

+5

16

+5

21

+5

26

 +7

 +13

 +19

 +25

 +31

13

+11

24

+11

35

+11

46

+11

57

 

 +7

 

 

+13

 

+19

20

+17

37

54 71 88

 

 +7

 

+13

27

+23

50

73 96 119

 +7

+13

34

+29

63

92 121 150
9

+7

16

+7

23

+7

30

+7

37

 +7

 +13

 +19

 +25

 +31

16

+13

29

+11

42

+11

55

+11

68

 

 +7

 

 

+11

27

+19

42 61 80 99

 

 +7

 

+11

30

+25

55 80 105 130

 +7

+11

37

+31

68 99 130 161

n2

 

Информация о работе «Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 16462
Количество таблиц: 16
Количество изображений: 2

Похожие работы

Скачать
2449
1
0

... ряда нечётных чисел - (2I + 1) (2 j + 1). Для таблицы 9, ряда натуральных чисел - (I + 1) ( j + 1). Заостряю внимание на том факте, что это уже не номера членов СЧ в рядах простых чисел ПЧ + СЧ, а численные значения этих номеров. И подобных уравнений СЧ можно составить по числу систем арифметических прогрессий, и даже значительно больше, т.е. бесконечное множество. Всё же для наглядности распишу ...

Скачать
23516
0
0

... либо простым, либо произведением нескольких простых чисел. Но они не умели этого доказывать. Пифагор или кто-то из его последователей нашел доказательство этого утверждения. Теперь легко объяснить роль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых с помощью умножения строят все остальные числа. Хорошо было бы, если все простые числа можно было сосчитать! Пусть их было бы ...

Скачать
122875
5
0

... что предмету не присуще некоторое свойство. Объединенная классификация простых категорических суждений по количеству и качеству. В каждом суждении имеется количественная и качественная характеристика. Поэтому в логике применяется объединенная классификация суждений по количеству и качеству, на основе которой выделяются следующие 4 типа суждений: 1.         суждение А общеутвердительное. Его ...

Скачать
128810
46
0

... первичного и бухгалтерского учета. Первичный учет – регистрация фактов по мере их возникновения. Различают отчетность: -    Общегосударственная отчетность собирается органами общегосударственной статистики по всем хозяйственным структурам не зависимо от формы их собственности и отраслевой принадлежности; -    Ведомственная отчетность собирается для нужд управления в рамках министерств или ...

0 комментариев


Наверх