Построение системы нечеткого вывода

Санкт-Петербургский политехнический университет
петра великого

Институт металлургии, машиностроения и транспорта

Отделение технологий машиностроения

Кафедра «Мехатроника и роботостроение» (при ЦНИИ РТК)

Лабораторная работа №1

«Построение системы нечеткого вывода»

по дисциплине «Математические методы искусственного интеллекта»

Выполнила студентка группы 13345/2 _________________С. С. Орлова

Работу принял ______________ Л.А. Станкевич

Задачи работы

Создать систему нечеткого вывода для вычисления требуемой зависимости. Работа должна содержать следующие этапы:

1. Аналитический расчет заданной зависимости.

2. Аппроксимация полученного выражения с использованием пяти термов для каждой физической величины.

3. Сравнение результатов аппроксимации с теоретическими значениями в 10 точках. Вычисление средней ошибки.

Выполнение работы

1. Аналитический расчет заданной зависимости

Имеется задача стрельбы в заданную точку на поверхности горы (рисунок 1).

Дано: Начальная скорость стрельбы: V = const = 1000 м/с. Ускорение свободного падения: g = 9.81 м/с2. Найти: Зависимость α = f(L, β), где L - расстояние до целевой точки по оси Х; α - угол стрельбы, β - угол наклона горы; (h - расстояние до целевой точки по оси Y, h = L * tg(β) (*))

Рис. 1. Стрельба в заданную точку на поверхности горы

При аналитическом методе решения этой задачи воспользуемся уравнением траектории для тела, брошенного под углом к горизонту:

, где

(1)

у - координата по оси Y, х - координата по оси Х.

Из уравнения (1) можно получить искомую зависимость, подставив координаты целевой точки:

· x = L,

· y = h = L * tg(β) из соотношения (*).

Поскольку в процессе вычисления α приходится дважды извлекать квадратный корень и использовать arccos(), получается пять вариантов решения. Условию α [0, π] удовлетворяют два варианта, выражения и графики для них представлены ниже:

(2а)

(2б)

Рис. 2a. График α = f(L, β) = a1(b, L)	Рис. 2б. График α = f(L, β) = a2(b, L)

Возьмем зависимость (2б): α = f(β, L) = a2(b, L), рисунок 2б. Выражение будем использовать для вычисления набора точек, служащих входом нечеткой системы, а график будем сравнивать с графиком нечеткой системы, оценивая правильность решения визуально и по 10 точкам.

2. Построение нечеткой системы

2.1 Задание функций принадлежности термов входных и выходных величин

Функции принадлежности термов входных и выходных величин задаются в программе fuzzy logic, все заданные параметры приведены в таблице 1. В данной работе использовано два варианта задания термов - с равномерным распределением и с неравномерным распределением, учитывающим особенности заданной зависимости.

Таблица 1. Функции принадлежности термов с равномерным распределением

Переменная	Физический смысл	Расстояние L до точки по оси Х	Угол β горы	Угол α стрельбы
	Тип	вход	вход	выход
	Название	L	Beta	Alpha
	Диапазон значений	[0 1000] м	[0 π] рад	[0.75 1.6] рад
ФП 1	Имя ФП	Lxs	Bxs	Axs
	Тип ФП	gaussmf	gaussmf	gaussmf
	Параметры	[110 0]	[0.35 0]	[0.1 0.75]
ФП 2	Имя ФП	Ls	Bs	As
	Тип ФП	gaussmf	gaussmf	gaussmf
	Параметры	[110 250]	[0.35 0.7854]	[0.1 0.9625]
ФП 3	Имя ФП	Lm	Bm	Am
	Тип ФП	gaussmf	gaussmf	gaussmf
	Параметры	[110 500]	[0.35 1.571]	[0.1 1.175]
ФП 4	Имя ФП	Ll	Bl	Al
	Тип ФП	gaussmf	gaussmf	gaussmf
	Параметры	[110 750]	[0.35 2.356]	[0.1 1.388]
ФП 5	Имя ФП	Lxl	Bxl	Axl
	Тип ФП	gaussmf	gaussmf	gaussmf
	Параметры	[110 1000]	[0.35 3.142]	[0.1 1.6]

Таблица 2. Функции принадлежности термов с неравномерным распределением

Имя ФП	Lxs	Ls	Lm	Ll	Lxl
Параметры	[150 0]	[110 300]	[150 550]	[150 750]	[150 1000]
Имя ФП	Bxs	Bs	Bm	Bl	Bxl
Параметры	[0.5 0]	[0.3 0.95]	[0.15 1.51]	[0.35 2.1]	[0.5 3.142]
Имя ФП	Axs	As	Am	Al	Axl
Параметры	[0.11 0.75]	[0.1 1]	[0.08 1.2]	[0.1 1.39]	[0.08 1.6]

Изображения заданных функций принадлежности приведены на рисунке 3 для равномерного распределения, и на рисунке 4 для неравномерного раcпределения.

Рис. 3. Функции принадлежности с равномерным распределением термов	Рис. 4. Функции принадлежности с неравномерным распределением термов

2.2 Задание нечеткой системы правил

Для создаваемой системы должны быть заданы 25 правил. Эти правила приведены в таблице 3.

Таблица 3. Нечеткая система правил
№ β операция L α 1 Bxs and Lxs Axs 2 Bxs and Ls Axs 3 Bxs and Lm Axs 4 Bxs and Ll As 5 Bxs and Lxl As 6 Bs and Lxs Am 7 Bs and Ls Am 8 Bs and Lm Am 9 Bs and Ll Al 10 Bs and Lxl Al 11 Bm and Lxs Axl 12 Bm and Ls Axl 13 Bm and Lm Axl	№ β операция L α 14 Bm and Ll Axl 15 Bm and Lxl Axl 16 Bl and Lxs Am 17 Bl and Ls Am 18 Bl and Lm Am 19 Bl and Ll Al 20 Bl and Lxl Al 21 Bxl and Lxs Axs 22 Bxl and Ls Axs 23 Bxl and Lm Axs 24 Bxl and Ll As 25 Bxl and Lxl As

Затем необходимо добавить ещё 10 правил и сравнить полученные характеристики для 25 и 37 правил с заданной зависимостью. При правильном построении нечеткой системы характеристика с 37 правилами будет лучше совпадать с заданной зависимостью. Дополнительные правила приведены в таблице 4.

Таблица 4. Дополненная нечеткая система правил
№ β операция L α 26 Bxs and none Axs 27 Bxs and none As 28 Bs and none Am 29 Bs and none Al 30 Bm and none Axl 31 Bl and none Al	№ β операция L α 32 Bl and none Am 33 Bxl and none As 34 Bxl and none Axs 35 Bl and Lxs Axl 36 Bl and Ls Axl 37 Bl and Lm Axl

2.3 Вывод результатов

Для того, чтобы полученные результаты было удобно визуально сравнивать друг с другом и с заданной зависимостью, все полученные графики приведены в этом разделе:

· на рисунке 5 показан график зависимости, использующей равномерно распределенные ФП и 25 правил;

· на рисунке 6 показан график зависимости, использующей неравномерно распределенные ФП и 25 правил;

· на рисунке 7 изображен график зависимости, использующей неравномерно распределенные ФП и 37 правил;

· на рисунке 8 изображена исходная зависимость, рассчитанная аналитически.

Рис.5. Равномерно распределенные ФП, 25 правил	Рис.6. Неравномерно распределенные ФП, 25 правил
Рис.7. Неравномерно распределенные ФП, 37 правил	Рис.8. Зависимость, рассчитанная аналитически

Из рисунков видно, что распределение функций принадлежности с учетом характера аппроксимируемой зависимости и увеличение числа правил позволяют сгладить результирующую характеристику.

2.3 Анализ ошибок

Для всех трех вариантов нечетких систем рассчитаны средние ошибки по 10 точкам. Точки брались одни и те же для каждой системы. Результаты приведены в таблице 5.

Таблица 5. Средние ошибки для всех вариантов нечетких систем

№	распределение ФП	число правил	средняя ошибка, рад
1	равномерное	25	0,1520
2	неравномерное	25	0,1463
3	неравномерное	35	0,1446

Как видно из таблицы, увеличение точности нечеткой системы происходит не только при учете характера заданной зависимости при выборе ФП, но и при увеличении числа правил. Однако сама степень увеличения точности (уменьшения средней ошибки) невелика - около 4 % при смене распределения ФП с равномерного на неравномерное, и затем около 1,2 % при увеличении количества правил.

Вывод

В ходе лабораторной работы построена система нечеткого вывода для задачи стрельбы в заданную точку на поверхности горы. Данная задача имеет довольно громоздкое аналитическое решение в нескольких вариантах, поэтому, при условии, что нам известно некоторое количество точек для искомой зависимости (например, полученное эмпирически), решение с помощью системы нечеткого вывода может оказаться более эффективным. Точнее об эффективности можно судить, зная требуемую точность решения, а также количество, точность и распределение исходных точек. Чем меньшая точность требуется, и чем большее количество (и точность, и диапазон) исходных точек мы имеем, тем решение с помощью системы нечеткого вывода будет точнее.

На точность решения с помощью нечетких систем также влияет выбор функций принадлежности термов входных и выходных переменных и количество заданных правил. При выборе ФП следует учитывать характер искомой зависимости, если о нём что-либо достоверно известно. Также следует соблюдать внимательность при задании правил, поскольку слишком большое их количество может содержать противоречия и в итоге привести к ухудшению точности.

В данной работе изменение распределения ФП и увеличение количества правил увеличили точность системы незначительно.