Методы решения краевых задач, в том числе «жестких» краевых задач

Методы Алексея Юрьевича Виноградова


1 Введение

На примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты – системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных).

Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:

Y(x) = A(x) ∙ Y(x) + F(x),

где Y(x) – искомая вектор-функция задачи размерности 8х1, Y(x) – производная искомой вектор-функции размерности 8х1, A(x) – квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8х8, F(x) – вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8х1.

Здесь и далее вектора обозначаем жирным шрифтом вместо черточек над буквами

Краевые условия имеют вид:

U∙Y(0) = u,

V∙Y(1) = v,

где

Y(0) – значение искомой вектор-функции на левом крае х=0 размерности 8х1, U – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8, u – вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1,

Y(1) – значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8х1, V – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8, v – вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами A=const, решение задачи Коши имеет вид [Гантмахер]:

Y(x) = e∙ Y(x) + e e∙ F(t) dt,

где

e= E + A(x-x) + A (x-x)/2! + A (x-x)/3! + …,

где E это единичная матрица.

Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши или матрициантом и может обозначаться в виде:

K(x←x) = K(x - x) = e.

Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:

Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x) ,

где Y*(x←x) = e e∙ F(t) dt это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.


2 Случай переменных коэффициентов

Этот вариант рассмотрения переменных коэффициентов проверялся в кандидатской диссертации.

Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши):

e= e∙ e ∙ … ∙ e ∙ e,

K(x←x) = K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ … ∙ K(x←x) ∙ K(x←x).

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами A=A(x), решение задачи Коши предлагается искать при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются:

K(x←x) = K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ … ∙ K(x←x) ∙ K(x←x),

где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:

K(x←x) = e, где ∆x= x- x.


Информация о работе «Методы решения краевых задач, в том числе "жестких" краевых задач»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 32594
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 1

Похожие работы

11612
0
6

... матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются: , где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле: , где . 2. Метод решения жестких краевых задач без ортонормирования – метод сопряжения участков, выраженных матричными экспонентами. Разделим интервал интегрирования краевой задачи, например, на 3 участка. Будем иметь точки (узлы), ...

Скачать
822830
27
10

... . 4. Какие основные факторы нужно определить прежде, чем формировать инвестиционный портфель клиента? 5. Опишите простую структуру инвестиционного портфеля. ВВЕДЕНИЕ РАЗВИТИЕ РЫНКА ЦЕННЫХ БУМАГ В РОССИИ И ЗАДАЧИ РЕГУЛИРОВАНИЯ Рынок ценных бумаг в России начал свое формирование в первой половине 1991 г. после принятия известного Постановления Совета министров РСФСР ¹ 601 от 25 ...

Скачать
101882
0
0

... . А организованная преступность ещё имеет причины общие с неорганизованной преступностью. 3.3 Методы борьбы с организованной преступностью.21 В основе предупреждения организованной преступности лежат общесоциальные и экономические меры.Прежде всего нужны эффективные законы, отвечающие характеру современной преступности. Сегодняшний уголовный закон ...

Скачать
107713
13
0

... на поздних стадиях начинают проявляться ряд факторов объективного, природного характера, осложняющие ситуацию в решении парафиновой проблемы и снижающие эффективность традиционных мероприятий.   3.3 Методы используемые в НГДУ “Нурлатнефть” по предотвращению отложений АСПО   3.3.1 Механические методы борьбы с АСПО и технология работ при их применении Группа механических методов борьбы с ...

0 комментариев


Наверх